Бесконечно большие и бесконечно малые последовательности

Свойства ограниченных последовательностей

Критерий ограниченности числовой последовательности

Ограниченные и неограниченные последовательности

Некоторые виды последовательностей

· Стационарная последовательность — это последовательность, все члены которой, начиная с некоторого, равны.

(x_n) стационарная

В предположении о линейной упорядоченности множества X элементов последовательности можно ввести понятия ограниченных и неограниченных последовательностей.

· Ограниченная сверху последовательность — это последовательность элементов множества X, все члены которой не превышают некоторого элемента из этого множества. Этот элемент называется верхней гранью данной последовательности.

(x_n) ограниченная сверху

· Ограниченная снизу последовательность — это последовательность элементов множества X, для которой в этом множестве найдётся элемент, не превышающий всех её членов. Этот элемент называется нижней гранью данной последовательности.

(x_n) ограниченная снизу

· Ограниченная последовательность (ограниченная с обеих сторон последовательность) — это последовательность, ограниченная и сверху, и снизу.

(x_n) ограниченная

· Неограниченная последовательность — это последовательность, которая не является ограниченной.

(x_n) неограниченная

Числовая последовательность является ограниченной тогда и только тогда, когда существует такое число, что модули всех членов последовательности не превышают его.

(x_n) ограниченная

· Ограниченная сверху числовая последовательность имеет бесконечно много верхних граней.

· Ограниченная снизу числовая последовательность имеет бесконечно много нижних граней.

· Ограниченная последовательность имеет по крайней мере одну предельную точку.

· У ограниченной последовательности существуют верхний и нижний пределы.

· Для любого наперёд взятого положительного числа ε все элементы ограниченной числовой последовательности, начиная с некоторого номера, зависящего от ε, лежат внутри интервала.

· Если за пределами интервала лежит лишь конечное число элементов ограниченной числовой последовательности, то интервал содержится в интервале.

· Справедлива теорема Больцано — Вейерштрасса. Из любой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность.

· Бесконечно малая последовательность — это последовательность, предел которой равен нулю.

· Бесконечно большая последовательность — это последовательность, предел которой равен бесконечности.