Свойства сходящихся последовательностей

Сходящиеся и расходящиеся последовательности

Свойства бесконечно малых последовательностей

Бесконечно малые последовательности отличаются целым рядом замечательных свойств, которые активно используются в математическом анализе, а также в смежных с ним и более общих дисциплинах.

· Сумма двух бесконечно малых последовательностей сама также является бесконечно малой последовательностью.

· Разность двух бесконечно малых последовательностей сама также является бесконечно малой последовательностью.

· Алгебраическая сумма любого конечного числа бесконечно малых последовательностей сама также является бесконечно малой последовательностью.

· Произведение ограниченной последовательности на бесконечно малую последовательность есть бесконечно малая последовательность.

· Произведение любого конечного числа бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.

· Любая бесконечно малая последовательность ограничена.

· Если стационарная последовательность является бесконечно малой, то все её элементы, начиная с некоторого, равны нулю.

· Если вся бесконечно малая последовательность состоит из одинаковых элементов, то эти элементы — нули.

· Если (x_n) — бесконечно большая последовательность, не содержащая нулевых членов, то существует последовательность (1 / x_n), которая является бесконечно малой. Если же (x_n) всё же содержит нулевые элементы, то последовательность (1 / x_n) всё равно может быть определена, начиная с некоторого номера n, и всё равно будет бесконечно малой.

· Если (α _n) — бесконечно малая последовательность, не содержащая нулевых членов, то существует последовательность (1 / α _n), которая является бесконечно большой. Если же (α _n) всё же содержит нулевые элементы, то последовательность (1 / α _n) всё равно может быть определена, начиная с некоторого номера n, и всё равно будет бесконечно большой.

· Сходящаяся последовательность — это последовательность элементов множества X, имеющая предел в этом множестве.

· Расходящаяся последовательность — это последовательность, не являющаяся сходящейся.

· Всякая бесконечно малая последовательность является сходящейся. Её предел равен нулю.

· Удаление любого конечного числа элементов из бесконечной последовательности не влияет ни на сходимость, ни на предел этой последовательности.

· Любая сходящаяся последовательность элементов хаусдорфова пространства имеет только один предел.

· Любая сходящаяся последовательность ограничена. Однако не любая ограниченная последовательность сходится.

· Последовательность сходится тогда и только тогда, когда она является ограниченной и при этом её верхний и нижний пределы совпадают.

· Если последовательность (x_n) сходится, но не является бесконечно малой, то, начиная с некоторого номера, определена последовательность (1 / x_n), которая является ограниченной.

· Сумма сходящихся последовательностей также является сходящейся последовательностью.

· Разность сходящихся последовательностей также является сходящейся последовательностью.

· Произведение сходящихся последовательностей также является сходящейся последовательностью.

· Частное двух сходящихся последовательностей определено, начиная с некоторого элемента, если только вторая последовательность не является бесконечно малой. Если частное двух сходящихся последовательностей определено, то оно представляет собой сходящуюся последовательность.

· Если сходящаяся последовательность ограничена снизу, то никакая из её нижних граней не превышает её предела.

· Если сходящаяся последовательность ограничена сверху, то её предел не превышает ни одной из её верхних граней.

· Если для любого номера члены одной сходящейся последовательности не превышают членов другой сходящейся последовательности, то и предел первой последовательности также не превышает предела второй.

· Если все элементы некоторой последовательности, начиная с некоторого номера, лежат на отрезке между соответствующими элементами двух других сходящихся к одному и тому же пределу последовательностей, то и эта последовательность также сходится к такому же пределу.

· Любую сходящуюся последовательность (x_n) можно представить в виде (x_n) = (a + α _n), где a — предел последовательности (x_n), а α _n — некоторая бесконечно малая последовательность.

· Всякая сходящаяся последовательность является фундаментальной. При этом фундаментальная числовая последовательность всегда сходится (как и любая фундаментальная последовательность элементов полного пространства).