Определение. Число А называется пределом функции при и обозначается , если .
Определение. Функция называется непрерывной в точке , если .
Определение. Функция непрерывна в области , если она непрерывна в каждой точке этой области.
Определение. Функция равномерно непрерывна на множестве , если .
Упражнение 3*. 1)Записать формальное (с использованием ) определение непрерывности ФКП на множестве . 2) Сравнить определение непрерывности и равномерной непрерывности ФКП на множестве.
Решение. 1) Функция непрерывна на множестве , если .
2)Равномерная непрерывность гарантирует непрерывность, обратное в общем случае неверно. Можно взять некоторую функцию (например, (частный случай ФКП)), и взять некоторую область (например (0;2)), где какой бы мы интервал не взяли, в той же области аргументы, отличные в пределах этого интервала, заставят функции принять такие значения, что .
Замечание. Исследование ФКП на предел в точке и непрерывность фактически эквивалентно исследованию двух функций действительного переменного (действительной и мнимой части функции) на предел и непрерывность.
|
|
Пример 1. Какую из функций можно непрерывно доопределить в точке ? (Т. е. какая функция имеет предел в 0?)
Предварительно дадим
Определение. (Предел функции по Гейне). Число называется пределом функции комплексного переменного в точке , если для любой последовательности .
Замечание. Можно показать, что это определение предела ФКП и данное в первой лекции определение (предел от ФКП по Коши) эквивалентны.
Решение примера 1. (Из существования предела в точке следует его существование по любому направлению и единственность значения)
Рассмотрим последовательности:
.
Функция на двух путях имеет разные значения, значит, предел не существует. Аналогично рассмотрим остальные функции.
- предел не существует.
- предел не существует.
.
Для функции пределы по этим последовательностям равняя.
Исследуя определения предела функции по Гейне, рассмотрим произвольную последовательность. .
.
Доказано: и можно доопределить нулём (непрерывно) в точке .
Перейдём к рассмотрению элементарных трансцендентных функций комплексного переменного. Эти функции можно определять с помощью сходящихся степенных рядов или как аналитическое продолжение на всю комплексную область или некоторую её подобласть соответствующих функций действительного переменного.
Определение. Функция комплексного переменного называется однолистной на , если для всех .
(то есть это – взаимооднозначное отображение.)