Обобщим уравнение (9) на случай многокомпонентной фильтрации. Предполагается, что фазы (вода и нефть) не смешиваются, и пассивная примесь может иметь ненулевую концентрацию только в воде и на стенках пор. Концентрация воды во флюиде равна . Поле скоростей фильтрации воды равно . Тогда поле скоростей течения воды определено в тех точках, где вода присутствует, и равно
.
Рассмотрим произвольный объём пористой среды. Закон сохранения количества примеси для этого объёма имеет вид:
, (10)
где:
— концентрация примеси;
— граница объёма ;
— плотность потока примеси;
— нормаль к поверхности ;
— плотность мощности источников примеси.
Рассмотрим малый объём . Количество растворённой примеси в объёме равно . Часть объёма занята водой. Соответственно в этой части объёма имеем молей примеси, адсорбированной на стенках пор. Так как примесь может иметь ненулевую концентрацию только в воде, то она не сможет из адсорбированного состояния перейти в нефть. Поэтому в части объёма, занятой нефтью, плотность адсорбированной примеси будет такая же, как и в части объёма, заполненной водой. В итоге во всём объёме имеем молей адсорбированной примеси.
|
|
Тогда суммарное количество примесей в объеме равно
. (11)
Рассмотрим некоторую малую площадь в пористой среде. Так как примесь может передвигаться только в воде, то достаточно рассмотреть поток через занятую водой часть этой площади.
Конвективный поток будет равен
.
Диффузионный поток будет равен
.
Тогда суммарный поток примеси через площадь будет равен
. (12)
Закон сохранения массы (10) с учетом (11) и (12) запишется в виде
.
Отсюда
. (13)
Так как объём не зависит от времени, можно поменять местами дифференцирование по времени и интегрирование в первом слагаемом. Тогда, в силу произвольности , будем иметь:
, (14)
где:
— пористость;
— концентрация примеси;
— водонасыщенность;
— концентрация адсорбированной в порах примеси;
— скорость фильтрации воды;
— диффузионный поток, вызванный конвективной диффузией;
— плотность мощности источников примесей.
Скорость фильтрации воды может быть определена в соответствии с обобщённым законом Дарси:
. (15)