Решение. Формула полной вероятности

Формула полной вероятности

Вероятность события А, которое может наступить лишь при появлении одного из несовместных событий (гипотез) В₁, В₂, … В_n, образующих полную группу, равна сумме произведений вероятностей каждой из гипотез на соответствующую условную вероятность события А:

Р(А) = Р(В1).РВ1(А) + Р(В2).РВ2(А) + … + Р(Вn).РВn(А)	- формула
	полной вероятности

Где Р(В₁) + Р(В₂) + … + Р(В_n) = 1

Примеры:

1. В урну, содержащую два шара, опущен белый шар, после чего из нее наудачу извлечен один шар. Найти вероятность того, что извлеченный шар окажется белым, если равновозможны все возможные предположения о первоначальном составе шаров (по цвету).

Обозначим: А – извлечен белый шар

В₁ - белых шаров первоначально не было

В₂ – первоначально был один белый шар

В₃ –первоначально было два белых шара

.

Все три гипотезы равновероятны.. сумма вероятностей гипотез равна единице. Вероятность каждой гипотезы равна:

Условная вероятность извлечения белого шара

Первоначальные условия	Условная вероятность
Белых шаров не было	РВ1(А) = 1/3
Первоначально был один белый шар	РВ2(А) = 2/3
Первоначально было два белых шара	РВ3(А) = 3/3=1

Искомую вероятность того, что будет извлечен белый шар, находим по формуле полной вероятности:

Р(А) = Р(В₁)^.Р_В1(А) + Р(В₂)^.Р_В2(А)+ Р(В₃)^.Р_В3(А) =

= 1/3^.1/3 + 1/3^.2/3 + 1/3^.1 = 2/3.

2. В магазин для продажи поступает продукция трех фабрик, относительные доли которых есть: 1 -50%, 2 – 30% и 3 – 20%. Для продукции фабрик брак соответственно составляет: 1 – 2%, 2 – 3% и 3 – 5%. Какова вероятность того, что изделие этой продукции, случайно приобретенное в магазине, окажется доброкачественным (событие А).

Решение.

Здесь возможны следующие три гипотезы: приобретенная вещь выработана соответственно на 1, 2, и 3 фабриках; очевидно, система этих гипотез полная, причем их вероятности

Соответствующие условные вероятности события А равны

По формуле полной вероятности имеем