Поверхность в Евклидовом пространстве

Вид кривой вблизи произвольной точки.

Вычисление кривизны и кручения в случае произвольного параметра.

Вычисление кривизны и кручения.

Утв.:

Док-во:

1)

2)

Утв.:

Если:

То:

Доказательства на экзамене не спрашивали.

- ось :

- ось :

- ось :

Поверхности и дифференциальные формы в

Опр.1:

называется -мерной поверхностью в , если:

- диффеоморфизм

Опр.2:

1. называется -мерной поверхностью в , если:

- диффеоморфизм,

2. - локальная карта поверхности

3. - криволинейные координаты

4. Множество точек на поверхности, у которых одна из координат не константа:

называется координатной линией

5. Гладкость отображения , если задаёт гладкость поверхности.

6. Совокупность локальных карт, задающих поверхность полностью:

называется атласом поверхности.

Утв.: Опр.1 Опр. 2

Пример 1:

- сфера в

размерность 2

- криволинейные координаты

Пример 2.:

- Тор в

Задание поверхностей размерности 2 имеет вид:

- радиус-вектор