Групповая скорость волны

Все реальные волны в той или иной степени отличаются от синусоидальных волн, так как энергия колебательного движения частично превращается в другие виды энергии, что ведет к уменьшению амплитуды колебаний по мере распространения волны. Уравнение плоской реальной волны можно записать в такой форме:

ξ (х, t) = А ₀ е^{-γ х} cos(ωt – kx + φ ₀), (13.11)

где A ₀ е^{-γ х} – амплитуда волны, γ – коэффициент затухания. Эту волну можно представить как волну, полученную от наложения двух или большего количества синусоидальных волн с близкими частотами. Такую несинусоидальную волну называют группой волн или волновым пакетом.

В качестве примера рассмотрим простейший волновой пакет, образованный двумя плоскими продольными синусоидальными волнами, распространяющимися вдоль оси О х. Пусть амплитуды этих волн одинаковы, начальные фазы φ ₁₀= φ ₂₀ = 0, а частоты и волновые числа несколько различны, но близки друг к дугу:

ξ ₁ = A ₀cos (ω ₁ t – k ₁ x),

ξ ₂ = A ₀cos (ω ₂ t – k ₂ x).

Для результирующей волны

ξ = ξ ₁ + ξ ₂ = 2 А ₀ cos(∆ ωt - ∆ kx) cos(ωt - kx),

где

Таким образом, результирующая волна является плоской волной, циклическая частота ω и волновое число k которой равны полусумме соответственно циклических частот и волновых чисел синусоидальных волн, образующих пакет. Однако амплитуда этой волны не постоянна, а зависит от координаты х и времени t:

A = 2 A ₀ cos (∆ ωt - ∆ kx),

где ∆ ωt - ∆ kx = φ _А – фаза амплитуды распространяющейся волны. Дифференцируя выражение для φ _Ав предположении, что φ _А= const, получим:

Или в пределе, когда ∆ ω, а следовательно, и ∆ k стремятся к нулю:

Учитывая, что и : Так как где v – фазовая скорость волны, то

и

(1.13)

Скорость u называют групповой скоростью пакета волн. В случае отсутствия дисперсии волн в среде (т. е. когда dv/dλ = 0) их фазовые скорости v одинаковы и не зависят от λ. Поэтому в таких средах групповая скорость волн совпадает с их фазовой скоростью.

Лекция 2