Критерии Найквиста

Критерий был сформулирован в 1932 г. американским физиком X. Найквистом, а обоснован и применен для анализа автоматических систем управления Михайловым А. В.

Критерий Найквиста позволяет судить об устойчивости системы по амплитудно-фазовой характеристике разомкнутого контура си­стемы. В этом заключается существенное преимущество критерия, так как построение амплитудно-фазовой характеристики разомкну­того контура для большинства реальных систем оказывается проще, чем построение годографа Михайлова. Особенно упрощается это построение для одноконтурных систем, состоящих из типовых звеньев. А в тех случаях, когда неизвестно математическое опи­сание нескольких конструктивных элементов системы и оценка их свойств возможна только путем экспериментального определения частотных характеристик, критерий Найквиста яв­ляется единственно пригодным.

Основная формулировка критерия Най­квиста:

автоматическая система управления устойчива, если амплитудно-фазовая характеристика W(jw) разомкнутого контура не охватывает точку с координатами (-1; j0).

Эта формулировка справедлива для систем, которые в разомкнутом состоянии устойчивы. Тако­выми являются большинство реальных систем, состоящих из устой­чивых элементов.

На рис. 4.3, а изображены амплитудно-фазовые характеристики разомкнутого контура, соответствующие трем различным случаям: система устойчива (кривая 1); система находится на колебательной границе устойчивости (кривая 2); система неустойчива (кривая 3).

Критерий Найквиста физически можно интерпретировать следующим образом. Предположим, что на входе системы (рис. 4.3, б) действует гармонический сигнал g (t) == g _m Sin w t с малой амплитудой g _m. Пусть частота w равна частоте w_p, при которой фазовый сдвиг j(j w), создаваемый звеном W (j w), равен — p. Тогда сигнал отрицательной обратной связи окажется в фазе с сигналом g(t), и мгновенные значения сигналов будут суммироваться.

Рис. 4.3. Амплитудно-фазовые характеристики разомкнутого контура (а) и физическая трактовка (б) критерия Найквиста

Если на частоте w = w_p, модуль | W (j w) | = 1 (нет усиления и нет подавления), то в контуре системы будут поддерживаться неза­тухающие колебания даже после исчезновения внешнего воздейст­вия g (t), т. е. система будет находиться на границе устойчивости. Характеристика W (j w) при этом проходит через точку (-1; j 0). Если на частоте w = w_p модуль | W (j w)| < 1 (подавление есть), то после исчез­новения внешнего воздействия колебания в контуре затухнут, т. е. система устойчива, характеристика не охватывает точку (-1; j 0). Если же модуль | W (j w)| > 1 (усиление есть), то амплитуда сигналов в кон­туре будет неограниченно возрастать, т. е. система будет неустой­чивой. Характеристика W (j w) в этом случае охватит точку (-1; j 0).

Таким образом, особая роль точки (-1; j 0) заключается в том, что она, во-первых, соответствует превращению отрицательной обратной связи в положительную, и во-вторых, является гранич­ной между режимами усиления и ослабления сигналов звеном W (j w).