Рассмотрим стержень круглого поперечного сечения диаметром , нагруженного внешним крутящим моментом (рис. 5.3). Прямоугольная сетка, нанесенная на его поверхности, после деформации превратится в сетку, состоящую из параллелограммов, что свидетельствует о наличии касательных напряжений на их гранях, т.е. напряженное состояние в любой точке представляет собой чистый сдвиг.
Примем следующие гипотезы: 1. Все поперечные сечения остаются плоскими и после деформации. 2. Радиусы поперечных сечений остаются прямыми и после деформации. 3. Расстояния между поперечными сечениями последеформации не изменяются. Вырежем двумя поперечными сечениями ичасть стержня и закрепим левым торцом (рис. 5.4).
В элементе радиусом выделим цилиндрический cлой, образующая которого после деформации займет положение под воздействием крутящего момента , который для элемента можно считать внешним крутящим моментом. Поперечные сечения повернутся взаимно на угол [рад].
Из рис. 5.4 cледует: или . Приравняв правые части, подучим:
.
Обозначим
,
где q - относительный угол закручивания [рад/м].
Рис. 5.3 Рис.5.4
Элемент испытывает чистый сдвиг, следовательно справедлив закон Гука при сдвиге. Для слоя с радиусом получим ,
т.е. касательные напряжения в сечении меняются по линейному закону.
Установим зависимость между крутящим моментом и касательными напряжениями в поперечном сечении:
или: .
Откуда ,
где - полярный момент инерции.
Получим формулу для определения относительного угла закручивания
.
Подставив получим формулу для определения в любой точке поперечного сечения:
,
где: - крутящий момент в сечении, в котором определяют напряжения [Н·м];
- полярный момент инерции поперечного сечения для круга [м4];
- радиус слоя поперечного сечения, в котором определяют напряжения.
Таким образом, следует, что наибольшие напряжения возникают в точках контура поперечного сечения при . Эпюрапредставлена на
рис. 5.5, а. По формуле получим , где - полярный мо-
а) б) мент сопротивления поперечного
Рис. 5.5 сечения.
Для круга диаметра полярный момент сопротивления равен:
.
для кольца наружного диаметра и внутреннего диаметра(рис. 5.5, б) получим:
,
где .
5.3. Расчёт на прочность при кручении. Наибольшие напряжения возникают в опасном сечении вала – сечении, в котором возникает наибольший по абсолютной величине внутренний крутящий момент
.
Условие прочности имеет вид
.
Допускаемое напряжение на кручение, как и при других видах деформации, определяют по формуле
,
где – предельное напряжение (– для пластичных и – для хрупких материалов), а – коэффициент запаса прочности.
Т.к. данных испытания различных материалов на кручение значительно меньше, чем на растяжение, то принимают из опыта по . Так, например, для стали 0,5, для чугуна .
Также как и при растяжении и изгибе при расчёте на прочность при кручении возможны следующие три вида задач, различающихся формой использования условия прочности:
Проверочный расчёт – выполняется по формуле для опасного сечения вала.
Проектировочный расчет – подбор размеров сечения вала.
Для круга:
;
для кольца имеют
,
где - заданное отношение диаметров.
Определение допускаемой нагрузки. Тогда
.