2014-02-09
576
Определение. Расстоянием от точки до прямой называют длину перпендикуляра, проведенного из этой точки на прямую.
Пусть относительно прямоугольной системы координат 
на плоскости задана прямая 
общим уравнением 
и точка 
. Обозначим расстояние от точки 
до прямой через 
:
.
Как известно
.
Очевидно, что 
и 
коллинеарны и, следовательно,
. (*)
Поскольку 
, то (*)
.
А т.к. 
, то окончательно получаем
. (9.1)
Если прямая задана уравнением (8.3): 
, то формула (9.1) принимает вид
(9.2)
§10. УГОЛ МЕЖДУ ДВУМЯ ПРЯМЫМИ НА ПЛОСКОСТИ
Пусть в прямоугольной декартовой системе координат прямые 
и 
имеют направляющие векторы 
и 
соответственно.
Под углом между двумя прямыми и будем понимать угол 
:
Поскольку
то
или
Тогда из (*) следует, что
(10.1)
Если прямые и заданы общими уравнениями 
и 
соответственно, то 
и 
и, следовательно, из (10.1) следует, что
или
(10.2)
Если 
, то 
и 
коллинеарны, и, следовательно, 
и 
Поэтому получаем
или 
(10.2)
Таким образом, если прямые и параллельны, то коэффициенты при соответствующих переменных в их общих уравнениях пропорциональны.
|
|
|
Если 
, то 
и 
. (10.3)
Таким образом, если прямые и перпендикулярны, то сумма произведений коэффициентов при соответствующих переменных в их общих уравнениях равна нулю.
Если прямые и заданы уравнениями с угловыми коэффициентами 
то, приведя их к виду общих уравнений прямых 
и 
, получаем, что
Тогда из (10.1) будем иметь, что
(10.4)
Если , то и коллинеарны, и, следовательно, 
. Тогда
(10.5)
Таким образом, если прямые и , заданные уравнениями с угловыми коэффициентами, параллельны, то их угловые коэффициенты 
и 
равны.
Если 
, то и 
. Следовательно,
(10.6)
Таким образом, если прямые и , заданные уравнениями с угловыми коэффициентами, перпендикулярны, то их угловые коэффициенты и связаны соотношением (10.6).
