Взаимное расположение двух прямых

Пусть две прямые и относительно общей декартовой системы координат заданы общими уравнениями

() (5.1)

()

Из (5.1) и .

Очевидно, что прямые и могут занимать на плоскости относительно друг друга одно из трех различных положений:

1. , т.е. ;

2. ;

3. .

Рассмотрим эти случаи по отдельности:

1. и – не коллинеарны,

(5.2)

Таким образом, если прямые и пересекаются, то в их общих уравнениях коэффициенты при неизвестных не пропорциональны.

Замечание: (5.2) ,. (5.3)

Следовательно, если прямые и , заданные уравнениями с угловыми коэффициентами, пересекаются, то их угловые коэффициенты не равны.

С другой стороны, если , то система (5.1) имеет единственное решение. А это означает, что ее определитель

и , , т.е. .

2. и – коллинеарны и если , то

(5.4)

и .

Пусть

. (5.5)

Таким образом, если прямые и параллельны и не совпадают, то коэффициенты при неизвестных в их общих уравнениях пропорциональны, а свободные члены – не пропорциональны.

3. ,– коллинеарны и если , то

. (5.6)

Таким образом, если прямые и совпадают, то в общих уравнениях этих прямых все соответствующие коэффициенты пропорциональны.

Замечание: (5.6) и , т.е.

и . (5.7)

Следовательно, если прямые и заданы уравнениями с угловыми коэффициентами и совпадают, то справедливы соотношения (5.7).