Линейного трехчлена

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ЗНАКА

Пусть относительно общей декартовой системы координат задана прямая общим уравнением .

Рассмотрим функцию , где .

.

.

Выясним смысл неравенств и .

Пусть и : , .

Говорят, что прямая делит отрезокв отношении , если в этом же отношении точка пересечения прямых и делит отрезок .

Пусть точка пересечения прямых и делит отрезок в отношении , т.е. , и :

, .

Тогда

, (*)

а поскольку по условию , то , , то . Поэтому из (*) получаем

. (7.1)

Если – внутренняя точка отрезка , то и (7.1)

,

т.е. и имеют разные знаки.

Если – внешняя точка отрезка , то и (7.1)

,

т.е. и имеют одинаковые знаки.

Вывод: В точках, расположенных по разные стороны прямой , линейный трехчлен принимает значения разных знаков. В точках, расположенных по одну сторону от прямой , линейный трехчлен принимает значения одного знака.

Таким образом, всякая прямая делит плоскость на две полуплоскости так, что в точках одной из них функция () принимает положительные значения, а в точках другой – отрицательные.

Определение. Вектор называют главным вектором прямой .

Очевидно, что и не коллинеарны.

Действительно, допустив противное, получаем

.

Получили противоречие.

Отложим теперь главный вектор от некоторой точки прямой .

Пусть и . Т.к. , то . Тогда ,

и

.

Следовательно .

Вывод: Главный вектор прямой принадлежит положительной полуплоскости, если он приложен к некоторой точке этой прямой.

Замечание: Если прямая не проходит через начало координат, то знаки полуплоскостей определяют с помощью точки – начала ординат.