Нормальное уравнение прямой

Определение. Ненулевой вектор, перпендикулярный направляющему вектору прямой, называют нормальным вектором прямой.

Пусть относительно прямоугольной декартовой системы координат , задана прямая и . И пусть и – нормальный вектор прямой .

Тогда . – направляющий вектор прямой , и

. (8.1)

Соотношение (8.1) называют уравнением прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору .

Определение. Уравнение прямой называют нормальным, если ее нормальный вектор является единичным.

Пусть . Тогда . Точка – основание перпендикуляра, проведенного из начала координат на прямую .

(), .

. (*)

Точке поставим в соответствие ее радиус-вектор: . Тогда . Поэтому (*) или, используя свойства скалярного умножения векторов, получаем

. (8.2)

Равенство (8.2) в координатной форме принимает вид

. (8.3)

Соотношение (8.3) – нормальное уравнение прямой .

Если в прямоугольной декартовой системе координат прямая задана общим уравнением, то главный вектор и направляющий вектор взаимно перпендикулярны:

.

Вывод: В прямоугольной декартовой системе координат главный вектор прямой является ее нормальным вектором.

Пусть прямая задана общим уравнением

. (8.4)

Чтобы привести уравнение (8.4) к нормальному виду, домножим обе его части на :

. (**)

Пусть (**) – нормальное уравнение. Тогда

. (8.5)

Число (8.5) называют нормирующим множителем.

Замечание: Знак выбирают противоположным знаку свободного члена общего уравнения прямой.

Тогда (**)

. (8.6)

Кроме того, вектор имеет координаты

. (8.7)