Пусть Тогда в качестве направляющего вектора прямой можно взять вектор . Так как – действительно направляющий вектор прямой . Положим . Тогда из (1.4)
(2.1)
Соотношение (2.1) – уравнение прямой, проходящей через две точки.
Допустим, что Тогда и Следовательно, взяв в качестве направляющего вектора вектор и точку , из (2.1) получим
или (2.2)
(2.2) – уравнение прямой в отрезках.
Замечание: ,
§ 3. УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ С УГЛОВЫМ КОЭФФИЦИЕНТОМ.
Рассмотрим в аффинной системе координат прямую , заданную каноническим уравнением
(1.4)
с направляющим вектором . После несложных преобразований оно принимает вид
(1.4) .
Определение. Отношение второй координаты направляющего вектора прямой к его первой координате называют угловым коэффициентом прямой и обозначают
(3.1)
Если обозначить , то уравнение прямой принимает вид
. (3.2)
Соотношение (3.2) – уравнение прямой с угловым коэффициентом.
Теорема 3.1. Угловой коэффициент прямой не зависит от замены направляющего вектора этой прямой.
▼ Пусть – направляющий вектор прямой и векторы и коллинеарны. Тогда
|
|
.
Следовательно,
▲ ò
Теорема 3.2. Угловой коэффициент прямой волне определяется углом наклона прямой к оси абсцисс.
▼ôПусть
1) т.I четверти, следовательно . (*)
.
.
ó∆
. (3.3)
2) т.II четверти, следовательно. (**)
∆.
. (3.3)
|
4) т. IV четверти, поэтому. Тогда в силу теоремы 3.1 направляющий вектор заменим на вектор . Тогда . И, как и в случае 2), приходим к соотношению (3.3).
Таким образом, из (3.3) следует, что
. (3.4)
Следствие. В прямоугольной декартовой системе координат угловой коэффициент прямой равен тангенсу угла ее наклона к положительному направлению оси абсцисс.
Действительно, так как , то из (3.3) получаем
.
Таким образом, действительно в прямоугольной декартовой системе координат
. (3.5)
§ 4. ОБЩЕЕ УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ.
Во всех рассмотренных уравнениях прямой переменные и присутствуют только в первой степени. Это говорит о том, что прямая линия определяется уравнением первой степени относительно переменных и .
Справедливо и обратное утверждение.
Теорема 4.1. Всякое уравнение первой степени
. (4.1)
при условии
(4.2)
в аффинной системе координат определяет некоторую прямую.
▼ 1) Если , то (4.1) ; положив (*) и , получаем уравнение прямой с угловым коэффициентом.
2) Если , то (4.1); положив , получаем уравнение прямой, параллельной оси .
▲
Замечание. Сравнивая равенство (*) из доказательства теоремы и соотношение (3.1), можно сделать вывод, что направляющий вектор прямой (4.1) имеет координаты ò
|
|
ìи , . (4.3)
Соотношение (4.1) называют общим уравнением прямой.
Частные случаи расположения прямой, заданной общим уравнением, относительно системы координат:
1) (4.1) , т.е. прямая проходит через начало координат.
2) (4.1) ().
Действительно, , т.е. и коллинеарны.
3) (4.1) () .
Действительно, , т.е. и – коллинеарны.
4) (4.1)
.
5) (4.1)
|