Уравнение прямой в отрезках

Пусть Тогда в качестве направляющего вектора прямой можно взять вектор . Так как – действительно направляющий вектор прямой . Положим . Тогда из (1.4)

(2.1)

Соотношение (2.1) – уравнение прямой, проходящей через две точки.

Допустим, что Тогда и Следовательно, взяв в качестве направляющего вектора вектор и точку , из (2.1) получим

или (2.2)

(2.2) – уравнение прямой в отрезках.

Замечание: ,

§ 3. УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ С УГЛОВЫМ КОЭФФИЦИЕНТОМ.

Рассмотрим в аффинной системе координат прямую , заданную каноническим уравнением

(1.4)

с направляющим вектором . После несложных преобразований оно принимает вид

(1.4) .

Определение. Отношение второй координаты направляющего вектора прямой к его первой координате называют угловым коэффициентом прямой и обозначают

(3.1)

Если обозначить , то уравнение прямой принимает вид

. (3.2)

Соотношение (3.2) – уравнение прямой с угловым коэффициентом.

Теорема 3.1. Угловой коэффициент прямой не зависит от замены направляющего вектора этой прямой.

▼ Пусть – направляющий вектор прямой и векторы и коллинеарны. Тогда

.

Следовательно,

▲ ò

Теорема 3.2. Угловой коэффициент прямой волне определяется углом наклона прямой к оси абсцисс.

▼ôПусть

1) т.I четверти, следовательно . (*)

.

.

ó∆

. (3.3)

2) т.II четверти, следовательно. (**)

∆.

. (3.3)

Рис.3.3.

3) т.III четверти, следовательно (Рис. 3.4). В силу теоремы 3.1 направляющий вектор заменим на вектор . Тогда . Поэтому, как и в случае 2), приходим к соотношению (3.3).

4) т. IV четверти, поэтому. Тогда в силу теоремы 3.1 направляющий вектор заменим на вектор . Тогда . И, как и в случае 2), приходим к соотношению (3.3).

Таким образом, из (3.3) следует, что

. (3.4)

Следствие. В прямоугольной декартовой системе координат угловой коэффициент прямой равен тангенсу угла ее наклона к положительному направлению оси абсцисс.

Действительно, так как , то из (3.3) получаем

.

Таким образом, действительно в прямоугольной декартовой системе координат

. (3.5)

§ 4. ОБЩЕЕ УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ.

Во всех рассмотренных уравнениях прямой переменные и присутствуют только в первой степени. Это говорит о том, что прямая линия определяется уравнением первой степени относительно переменных и .

Справедливо и обратное утверждение.

Теорема 4.1. Всякое уравнение первой степени

. (4.1)

при условии

(4.2)

в аффинной системе координат определяет некоторую прямую.

▼ 1) Если , то (4.1) ; положив (*) и , получаем уравнение прямой с угловым коэффициентом.

2) Если , то (4.1); положив , получаем уравнение прямой, параллельной оси .

▲

Замечание. Сравнивая равенство (*) из доказательства теоремы и соотношение (3.1), можно сделать вывод, что направляющий вектор прямой (4.1) имеет координаты ò

ìи , . (4.3)

Соотношение (4.1) называют общим уравнением прямой.

Частные случаи расположения прямой, заданной общим уравнением, относительно системы координат:

1) (4.1) , т.е. прямая проходит через начало координат.

2) (4.1) ().

Действительно, , т.е. и коллинеарны.

3) (4.1) () .

Действительно, , т.е. и – коллинеарны.

4) (4.1)

.

5) (4.1)

Рис. 4.2.

.