2014-02-09
890
Вынужденные колебания
Затухающие колебания.
Свободные механические колебания могут существовать в системах, где сохраняется полная механическая энергия. В реальных системах всегда присутствует трение, благодаря которому свободные колебания, возбужденные первоначально в системе, со временем будут затухать. Кроме того, колебания в различных системах часто происходят под действием внешней силы — так называемой вынуждающей силы.
Определение 1.
Колебанияпри наличии сил трения (сил сопротивления любого характера!) являются затухающими.
Во всякой реальной системе имеются силы сопротивления, действие которых приводит к уменьшению её энергии. Если убыль энергии не восполняется, колебания будут затухать.
В простейшем, и вместе с тем наиболее часто встречающемся, случае сила сопротивления F * пропорциональна величине скорости:
. (15)
Здесь r — постоянная, называемая коэффициентом сопротивления.
Знак минус обусловлен тем, что сила F * и скорость v имеют противоположные направления.
Уравнение движения, получаемое из второго закона Ньютона при наличии сил сопротивления, имеет вид
. (16)
С аналогичным уравнением мы уже сталкивались при описании колебаний автомобильного колеса на пружинной подвеске с демпфирующим устройством.
Преобразуем уравнение (16) и приведём его к виду, даваемому в справочной литературе. Введём 
коэффициент (декремент) затухания колебаний, 
, ω0 ‑ представляет собой ту частоту, с которой совершались бы свободные колебания системы в отсутствие сопротивления среды (при r = 0). Эту частоту называют собственной частотой системы.
Итак, получаем, что:
. (17)
В случае, когда наличие сил сопротивления не приводит к подавлению колебаний, то есть, 
, уравнению (17) удовлетворяет функция (несложно убедиться в этом простой подстановкой!):
, (18)
где 
амплитуда колебаний, 
начальная фаза, 
угловая частота.
На рисунке слева дан график функции (18). Пунктирными линиями показаны пределы, в которых находится смещение колеблющейся точки x.
В соответствии с видом функции (18) движение системы можно рассматривать как гармоническое колебание частоты ω с амплитудой, изменяющейся по закону А(t) = А0e‑β∙t.
Скорость затухания колебаний определяется величиной β = r/2m, которую называют коэффициентом затухания. Период затухающих колебаний равен 
.
При незначительном сопротивлении среды (
) период колебаний практически равен T0 = 2π/ω0. С ростом коэффициента затухания период колебаний увеличивается.
Определение 2.
Отношение значений амплитуд,соответствующих моментам времени, отличающимся на период, называется декрементом затухания – 
.
Определение 3.
Логарифм декремента затухания называется логарифмическим декрементом затухания:
.
При 
уравнению (17) удовлетворяет сумма двух экспонент:
, (19)
где А1 и А2 — вещественные постоянные, значения которых зависят от начальных условий.
В целом, движение носит апериодический (непериодический) характер— выведенная из положения равновесия система возвращается в положение равновесия, не совершая колебаний.
На рисунке слева показаны качественно возможные способы возвращения системы к положению равновесия при апериодическом движении.
