Доказательство. Определитель матрицы порядка равен сумме произведений элементов любой строки (столбца) на их алгебраические дополнения

Теорема 1.1 (разложения).

Определитель матрицы порядка равен сумме произведений элементов любой строки (столбца) на их алгебраические дополнения

(1.4)

– разложение по -й строке.

Пусть, тогда (1.5).

Докажем, что имеют место следующие равенства:

, (1.6)

(1.7)

(1.8)

Чтобы доказать (1.6) достаточно записать правую часть формулы (1.5) в виде

.

Величины, стоящие в скобках являются алгебраическими дополнениями матрицы порядка элементов , , , т.е.

.

Равенства (1.7) и (1.8) доказываются аналогично.