2014-02-09
971
. Значение определителя не меняется при транспонировании матрицы (замен всех его строк соответствующими столбцами).
Проверим для.
.
.
Замечание 4. Свойство устанавливает равноправность строк и столбцов определителя. Поэтому все дальнейшие свойства определителя будем формулировать и для строк, и для столбцов, а доказывать только для строк или только для столбцов.
. При перестановке двух строк значение определителя меняет знак, сохраняясь по абсолютной величине.
Проверим для..
, 
.
Проверим для 
.
Разложим по второй строке:
, поменяем 1 и 3 строки. Каждое 
поменяет знак, т.к. является определителем второго порядка, у которого строки поменялись, следовательно:
.
. Определитель с двумя одинаковыми строками (столбцами) равен нулю.
Проверим для .
Допустим совпадают 1 и 3 строки
.
. Общий множитель всех элементов какой-либо строки можно вынести за знак определителя (т.е. при умножении определителя на число, все элементы какой-либо одной строки умножаются на это число).
