Доказательство. 1) С помощью теоремы разложения разложить определитель по 1-ой строке

Следствие теоремы 1.1.

Пример 1.5.

1) С помощью теоремы разложения разложить определитель по 1-ой строке:

2) Вычислить определители удобным способом:

3) .

Определитель треугольной матрицы равен произведению элементов главной диагонали.

(1.9)

.

Вычисление определителя только по теореме разложения не рационально. Таким способом, например, ЭВМ с быстродействием 1 млн. операций в секунду определитель порядка будет вычислять несколько миллионов лет. Существенно упрощает вычисление определителей высоких порядков использование свойств (4) и (8), причем, основным инструментом является свойство (8). С использованием этих свойств тот же определитель порядка может быть вычислен за 1 секунду.

Теорема 1.2 ( замещения ).

Пусть Δ – некоторый определитель третьего порядка. Сумма произведений алгебраических дополнений элементов какой-нибудь строки (столбца) на любые числа , , равна определителю Δ', который получается из данного определителя заменой упомянутой строки (столбца) строкой (столбцом) из чисел , , .