Уравнение состояния идеального газа. Основное уравнение молекулярно-кинетической теории

Основное уравнение молекулярно-кинетической теории

После решения предварительной задачи можно перейти к основной проблеме. Все молекулы, содержащиеся в ящике, разделим на фракции, отличающиеся друг от друга значением проекции скорости на перпендикуляр к одной из стенок (возьмем стенку, перпендикулярную к оси OX). Пусть DN1, DN2, DN3,... DNk,... - числа молекул, проекция скорости которых заключена в узких интервалах (v x1; v 1+D v x1),... (v xk; v xk+D v xk),... Если S – площадь стенки, то согласно проведенным выше расчетам, группа молекул с проекцией скорости из интервала (v xk; v xk+D v xk)создает силу давления
, (7)
здесь - число молекул с выбранным значением проекции скорости в единице объема. Учтем, что DNk=Nf( v xk)D v xk, где f( v xk) – значение плотности вероятности иметь заданное значение проекции скорости. Уравнение (7) тогда имеет вид:
DFk=2nmS f( v xk) D v xk. (8)
Полная сила давления на выбранную стенку равна сумме сил давления всех групп:
. (9)
Суммирование в правой части уравнения (9) проводится не по всем значениям проекции скорости, а только по тем, которые направлены к стенке, т.е. по половине всех молекул, поэтому сумма в правой части равна половине среднего значения квадрата проекции скорости. Итак,
. (10)
Давление газа -
. (11)

Чтобы определить значение á ñ, воспользуемся тем фактом, что в состоянии теплового равновесия все направления движения равновероятны, поэтому
á ñ = á ñ = á ñ=. (12)
Используем это обстоятельство для преобразования уравнения (11)

. (13)

Уравнение (13) является основным уравнением молекулярно-кинети­ческой теории разреженного газа. Если учесть, что произведение n á eкин ñ равно объемной плотности энергии u идеального газа, то это уравнение можно представить и в таком виде -
(14)

Аналогичная программа вычислений позволяет получить выражение давления ультрарелятивистского газа через плотность энергии. Таким газом является газ фотонов. Для него e=pc. Расчет давления дает
(15)

Как ранее было показано, средняя кинетическая энергия молекул газа является универсальным термометрическим параметром и связана с температурой по шкале Кельвина соотношением
(16)
Подставим выражение (16) в формулу для давления (13). Тогда получим
P=n kБT. (17)
Уравнение (17) связывает между собой давление, температуру и объемную плотность молекул. Уравнения данного типа называются уравнениями состояния.

Чаще в качестве параметра состояния газа используют не объемную плотность n молекул, а объем V и количество газа. Перейдем от n к переменной V. Учтем, что
. (18)
Полное число молекул N можно представить в виде
N=nN0, (19)
где n – число молей газа в ящике, N0 - число молекул в одном моле (число Авогадро). Таким образом, уравнение (17) принимает вид:
(20)
Комбинация N0kБ является новой постоянной R, именуемой универсальной газовой постоянной. Если использовать ее, то уравнение (20) записывается так
PV=nRT (21)
Уравнение (21) хорошо известно как уравнение Клапейрона-Менделеева, связывающее между собой макроскопические параметры состояния идеального газа P, V, T.

Как показывают экспериментальные данные, уравнение (21) с высокой точностью описывает состояние реального газа далеко за пределами применимости модели идеального газа. Например, состояние азота, кислорода, водорода, гелия, аргона и многих других газов при атмосферном давлении и температурах, далеких от температуры конденсации, при любом размере сосуда вполне удовлетворительно описывается уравнением Клапейрона-Менделеева.