Давление смеси газов. Закон Дальтона

Осмотическое давление

Квантовый вывод выражения давления идеального газа (доп. мат.)

Рассмотрим теперь состояние идеального газа с квантовой точки зрения. Пусть частица массы m находится в непроницаемом ящике размером Lx´Ly´Lz. Ее энергия равна. В отличие от классического описания состояний частицы, квантово-механическое рассмотрение показывает, что проекции импульса могут принимать только дискретный ряд значений: ;; здесь Этообстоятельство приводит к квантованию энергии частицы. Возможные значения энергии:
(22)

Формула (22) показывает, что энергия любого уровня зависит от размеров ящика. Допустим, одну из стенок ящика (например, перпендикулярную оси OX) заменили поршнем. При уменьшении объема ящика поршнем энергия частицы будет увеличиваться. Значит, чтобы сжать область под поршнем надо совершить работу против силы давления частицы на стенку. Эта сила равна минус производной от энергии по размеру Lx:
(23)

Верхний индекс “1” у силы давления означает, что это сила давления одной частицы. В состоянии термодинамического равновесия при тепловом взаимодействии частицы со стенкой и, через нее, с тепловым резервуаром происходит непрерывный переход с уровня на уровень. Давление флуктуирует. Среднее значение силы давления частицы на стенку равно
(24)
Далее обратим внимание на то, что в равновесии
(25)
Таким образом, в состоянии равновесия сила давления одной частицы на стенку может быть выражена через среднюю энергию
. (26)
Если в ящике N молекул, то сила давления в N раз больше:
(27)
Так как площадь стенки равна LyLz, то давление P=Fx/LyLz оказывается точно таким же, как дает классический расчет

В окончательное выражение давления не входит информация ни о массе, ни об устройстве молекулы. Оно справедливо для молекул любого газа. Если в ящике имеется смесь двух газов с объемными плотностями n1 и n2, в соответствии с моделью идеального газа взаимодействия между молекулами обоих сортов пренебрежимо мало, и каждая из компонент создает давление независимо от другой. Результирующее давление смеси газов можно рассчитать так:

P=(n1+n2) kБT=(n1+n2)RT=P1+P2. (28)
Давление смеси газов равно сумме независимых вкладов компонент смеси. В этом состоит содержание закона Дальтона.

Закон Дальтона гласит, что давление, создаваемое смесью газов, равно сумме давлений, создаваемых каждой компонентой смеси (каждая компонента создает давление так, как будто других компонентов смеси нет).

Опыт по смятию консервной банки атмосферным давлением является впечатляющей иллюстрацией закона Дальтона. Банка с маленьким отверстием заполняется на 1/4 водой. Воду в течение долгого времени кипятят. В пространстве над водой газ представляет собой смесь водяного пара и воздуха. Так как смесь сообщается с атмосферой через отверстие, она имеет атмосферное давление. При хорошем притоке тепла температура смеси оказывается только чуть ниже 1000. При такой температуре давление пара почти равно атмосферному. Парциальное давление воздуха в смеси оказывается чрезвычайно низким. При охлаждении плотно закрытой банки водяной пар конденсируется. Давление водяного пара, а значит, и давление смеси становится очень низким. Атмосферное давление сминает банку.