Трёхмерный случай

В трёхмерном случае уравнение приобретает вид:

где — оператор набла, а — скалярное произведение. Оно также может быть записано как

а при постоянном приобретает вид:

где — оператор Лапласа.

Обычно уравнение диффузии возникает из эмпирического (или как-то теоретически полученного) уравнения, утверждающего пропорциональность потока вещества (или тепловой энергии) разности концентраций (температур) областей, разделённых тонким слоем вещества заданной проницаемости, характеризуемой коэффициентом диффузии (или теплопроводности):

(одномерный случай),

(для любой размерности),

в сочетании с уравнением непрерывности, выражающим сохранение вещества (или энергии):

(одномерный случай),

(для любой размерности),

с учетом в случае уравнения теплопроводности ещё теплоёмкости (температура = плотность энергия / удельная теплоемкость).