Анализ статистической значимости параметров модели

Таблица 6

y	x1	x2	x3
	5,0
3,5	10,0
	15,0
	20,0
	25,0
	30,0
	35,0

Проверим наличие мультиколлениарности между факторными переменными, произведём отбор факторов и найдём параметры линейной модели множественной регрессии. Для нахождения коэффициентов парной корреляции можно воспользоваться формулой (2.1). Поскольку вычисления будут достаточно громоздкими,

эффективнее использовать средства табличного процессора Microsoft Excel. Применив к данным из Таблицы 6 обработку Сервис/ Анализ данных/ Корреляция, получим набор коэффициентов парной корреляции:

	y	x1	x2	x3
y
x1	0,949
x2	0,723	0,690
x3	0,938	0,992	0,630

Проверим выполнение условий (3.7) для каждой пары факторных переменных.

Для x1, x2:

- выполняется,

- выполняется.

Все три условия (3.7) выполняются, значит мультиколлениарность между факторными переменными x1 (температура воздуха в г. Барнауле) и x2 (размер торговой наценки) отсутствует, то есть они могут использоваться в модели одновременно.

Для x1, x3:

- не выполняется,

- не выполняется.

Ни одно из условий не выполняется, следовательно, факторы x1 (температура воздуха в г. Барнауле) и x3 (температура воздуха в г. Новосибирске) мультиколлениарны, то есть не рекомендуется использовать их в модели одновременно. Поскольку , то фактор x1 теснее связан с исследуемой переменной y (объём продаж), чем фактор x3. Поэтому исключить из рассмотрения следует фактор x3.

Для x2, x3:

- выполняется,

- выполняется.

Все три условия выполняются, значит мультиколлениарность между факторными переменными x2 и x3 отсутствует, и они могут использоваться в модели одновременно.

Можно резюмировать, что в модели можно оставить либо пару факторов x1, x2, либо пару x3, x2. То есть выбор необходимо сделать между факторами x1 и x3. Как уже отмечалось выше, фактор x1 имеет преимущество, поскольку теснее, чем x3, связан с y. Поэтому модель для объёма продаж y мы будем строить с учётом влияния факторов x1 и x2:

Для вычисления параметров модели по данным наблюдений выпишем вектор Y_в и матрицу X_в:

Опуская операции транспонирования матрицы, перемножения матриц и нахождения обратной матрицы (можно воспользоваться в Excel функциями ТРАНСП, МУМНОЖ, МОБР), запишем промежуточный результат вычислений, необходимых для нахождения вектора параметров модели А по формуле (3.6):

Продолжая операции с матрицами в соответствии с (3.6), получим искомый вектор параметров модели:

То есть мы получили уравнение линейной регрессии следующего вида:

. (3.8)

Значения параметров модели указывают, что в среднем при увеличении температуры воздуха в г. Барнауле на 1 градус объём продаж на изучаемом предприятии увеличивается на 1,36 единицы, а при увеличении торговой наценки на 1% объём продаж увеличивается на 0,20 единицы. Последний вывод выглядит некорректно, поскольку в реальном процессе, наоборот, увеличение наценки сдерживает рост объёма продаж.

Определим по (3.8) расчётные значения исследуемой переменной для набора значений факторов, полученных в наблюдениях (Таблица 6), и составим ряд отклонений ε_i фактических значений объёма продаж от расчётных значений.

Таблица 7

y		3,5
y_р	-3,30	3,49	10,29	17,09	23,88	31,66	43,39
ε	5,30	0,01	-5,29	-5,09	-1,88	8,34	-1,39

Значимость параметров модели множественной регрессии a_j проверяется с помощью t -критерия Стьюдента аналогично тому, как мы проверяли значимость коэффициентов модели парной регрессии. Для каждого параметра уравнения вычисляется t -статистика:

. (3.9)

Здесь S_ст – стандартная ошибка оценки, задаваемая соотношением (2.6), b_jj – диагональный элемент матрицы .

Далее по таблицам (или в Excel с помощью функции СТЬЮДРАСПОБР) определяется значение t_кр в зависимости от уровня значимости α и параметра n-m-1. Наконец, каждая из t -статистик (3.9) сравнивается с табличным значением. Если ׀t_aj׀ > t_кр, то коэффициент a_j считается значимым. В противном случае коэффициент не является значимым и его можно положить равным нулю, тем самым исключить из модели фактор x_j (качество модели при этом не ухудшится).

Проверим значимость коэффициентов полученного нами уравнения регрессии (3.8). Вычислим стандартную ошибку оценки:

Тогда

Находим табличное значение . Для коэффициентов a₀, a₁ вычисленные t -статистики по модулю больше критического значения. Следовательно, с вероятностью 90% мы можем утверждать, что коэффициенты a₀, a₁ уравнения регрессии (3.8) являются значимыми.