Потенциальная энергия деформации

Внешние силы, приложенные к упругому телу и вызывающие изменение геометрии тела, совершают работу А на соответству­ющих перемещениях. Одновременно с этим в упругом теле накап­ливается потенциальная энергия его деформирования U. При дей­ствии динамических внешних нагрузок часть работы внешних сил превращается в кинетическую энергию движения частиц тела К. Приняв энергетическое состояние системы до момента действия данных сил равным нулю, и в условиях отсутствия рассеивания энергии, уравнение баланса энергии можно записать в следующем виде:

А = U + K. (2.8)

При действии статических нагрузок К = 0, следовательно,

А = U. (2.9)

Это означает, что при статическом нагружении работа внешних сил полностью преобразуется в потенциальную энергию деформа­ции. При разгрузке тела производится работа за счет потенциаль­ной энергии деформации, накопленной телом. Таким образом, уп­ругое тело является аккумулятором энергии. Это свойство упругого тела широко используется в технике, например, в заводных пружи­нах часовых механизмов, в амортизирующих рессорах и др. В слу­чае простого растяжения (сжатия) для вывода необходимых расчет­ных зависимостей потенциальной энергии деформации рассмотрим решение следующей задачи.

На рис. 2.4, а изображен растягиваемый силой Р стержень, удлинение которого соответствует отрезку D l, ниже показан график изменения величины удлинения стержня D l в зависимости от силы Р (рис. 2.4, б). В соответствии с законом Гука этот график носит линейный характер.

Пусть некоторому значению силы Р соответствует удлинение стержня D l. Дадим некоторое приращение силе D Р - соответству­ющее приращение удлинения составит d (D l). Тогда элементарная работа на этом приращении удлинения составит:

dA = (P + d P)× d (D l) = P × d (D l) + d P × d (D l), (2.10)

вторым слагаемым, в силу его малости, можно пренебречь, и тогда

dA = P × d (D l). (2.11)

Полная работа равна сумме элементарных работ, тогда, при линейной зависимости “нагрузка - перемещение”, работа внешней силы Р на перемещении D l будет равна площади треугольника ОСВ (рис. 2.4), т.е.

А = 0,5 Р ×D l. (2.12)

В свою очередь, когда напряжения s и деформации e распреде­лены по объему тела V равномерно (как в рассматриваемом случае) потенциальную энергию деформирования стержня можно записать в виде:

. (2.13)

Поскольку, в данном случае имеем, что V = F l, P = s F иs = Е e,то

, (2.14)

т.е. подтверждена справедливость (2.9).

С учетом (2.5) для однородного стержня с постоянным попе­речным сечением и при Р = const из (2.14) получим:

. (2.15)

2.5. Статически определимые и статически
неопределимые системы

Если при рассмотрении заданной системы, находящейся в рав­новесном состоянии от действия заданных внешних нагрузок, все реакции в связях закрепления, а также внутренние усилия в ее эле­ментах, можно определить только по методу сечений, без использо­вания дополнительных условий, то такая система называется ста­тически определимой.

В реальной практике встречаются такие конструкции при рас­чете которых одних лишь уравнений равновесия оказывается не­достаточно, в связи с чем требуется формулирование дополнитель­ных уравнений, связанных с условиями деформирования конструк­ции.

Системы, в которых количество наложенных связей больше, нежели число независимых уравнений равновесия, называются статически неопределимыми.

По сравнению со статически определимыми системами, в ста­тически неопределимых системах имеются дополнительные связи, которые называются лишними.

Термин “лишние связи” является условным. Эти связи являют­ся лишними с точки зрения расчетных предпосылок. В действи­тельности эти связи создают дополнительные резервы для конст­рукций, как в плане обеспечения её жесткости, так и прочности.

На рис. 2.5, а изображен кронштейн, состоящий из двух стерж­ней, шарнирно скрепленных между собой. В связи с тем, что на конструкцию действует лишь вертикальное усилие Р, а система яв­ляется плоской (т.е. все элементы конструкции и вектор внешних сил лежат в одной плоскости), получается, что усилия в стержнях легко определяются из условий равновесия узла А, т.е.

å x = 0, å y = 0. (2.16)

Раскрывая эти уравнения, получаем замкнутую систему линей­ных уравнений относительно неизвестных усилий N ₁ и N ₂ в кото­рой количество уравнений равно количеству неизвестных:

-N ₁ - N ₂ sin a = 0; -N ₂ cos a - Р = 0.

Рис. 2.5

Если конструкцию крон­штейна усложнить, добавив еще один стержень (рис. 2.5, б), то усилия в стержнях N ₁, N ₂ и N ₃ прежним способом определить уже не удастся, т.к. при тех же двух уравнениях равновесия (2.16) имеются уже три неиз­вестных усилия в стержнях. В таких случаях говорят, что сис­тема один раз статически неопределима. Разность между числом неизвестных усилий и количеством независимых (значащих) урав­нений равновесия, связывающих эти усилия, называется сте­пенью статической неопределимости рассматриваемой системы.

В общем случае под n -раз статически неопределимой системой понимается система, в которой число неизвестных внешних опорных реакций и внутренних усилий превышает число не­зависимых и значащих уравнений равновесия на n единиц.

2.6. Напряженное и деформированное состояние
при растяжении и сжатии

Рассмотрим более подробно особенности напряженного состоя­ния, возникающего в однородном растянутом стержне. Определим напряжения, возникающие на некоторой наклонной площадке, со­ставляющей угол a с плоскостью нормального сечения (рис. 2.6, а).

Рис. 2.6

Из условия å z = 0, записанного для отсеченной части стержня (рис. 2.6, б), получим:

р F _a = s F, (2.17)

где F - площадь поперечного сечения стержня, F _a = F /cos a - пло­щадь наклонного сечения. Из (2.17) легко установить:

р = s сos a. (2.18)

Раскладывая напряжение р по нормали и касательной к на­клонной площадке (рис. 2.6, в), с учетом (2.18) получим:

s_a = p cos a = s cos² a; t_a = p sin a = s sin 2 a. (2.19)

Полученные выражения показывают, что для одной и той же точки тела величины напряжений, возникающих в сечениях, про­ходящих через эту точку, зависят от ориентации этой площадки, т.е. от угла a. При a = 0 из (2.19) следует, что s_a = s, t_a = 0. При a = , т.е. на продольных площадках, s_a = t_a = 0. Это означает, что продольные слои растянутого стержня не взаимодействуют друг с другом. Касательные напряжения t_a принимают наибольшие зна­чения при a = , и их величина составляет t_max=. Важно отме­тить, как это следует из (2.19), что . Следовательно, в любой точке тела на двух взаимно перпендикулярных площадках касательные напряже­ния равны между собой по абсолютной величине. Это условие является общей закономерностью любого напряженного состояния и носит назва­ние закона парности касательных напряжений.

Теперь перейдем к анализу деформаций в растянутом стержне. Наблюдения показывают, что его удлинение в продольном направ­лении сопровождается пропорциональным уменьшением попереч­ных размеров стержня (рис. 2.7).

Рис. 2.7

Если обозначить:

e_прод = ; e_попер = -, m = -,

то, как показывают эксперименты, m = const для данного материала и является безразмерным коэффициентом Пуассона. Вели­чина m является важной характеристикой материала и определяется экспериментально. Для реальных материалов m принимает значе­ния 0,1 ¸ 0,45.

При растяжении стержня возникают не только линейные, но и угловые деформации.

Рассмотрим прямой угол АВС (рис. 2.8, а), образованный отрез­ками АВ и АС, в недеформированном состоянии.

Рис. 2.8

При растяжении стержня точки А, В и С займут положение А ¢, B ¢, C ¢ соответственно. Величина

g_a = Ð ВАС - Ð А ¢ B ¢ C ¢

называется угловой деформацией или угловым сдвигом в точке А.

Совместим точки А и А ¢ и рассмотрим взаимное расположение отрезков АВ и А ¢ B ¢(рис. 2.8, б). На этом рисунке отметим вспомо­гательные точки K и L и прямую n, перпендикулярную отрезку А ¢ B ¢. Из рис. 2.8, б имеем:

e_прод = ; e_попер = ,

откуда с учетом e_прод = получим:

. (2.20)

Для определения w_a спроектируем ломаную ВLB ¢ А ¢на ось n D S ×sin w_a = BL cos (a + w_a) + LB ¢sin(a + w_a), откуда, учитывая ма­лость угла w_a, т.е. sin w_a» w_a, cos w_a» 1, получим:

w_a = . (2.21)

В результате совместного рассмотрения (2.20) и (2.21) получим:

w_a = .

Откуда

.

Следовательно,

. (2.22)

Сопоставляя выражение g_a с выражением t_a из (2.17) окон­чательно получим закон Гука для сдвига:

(2.23)

где величина называется модулем сдвига или модулем упругости материала второго рода.

2.7. Основные механические характеристики
материалов

Для количественной оценки основных свойств материалов, как

Рис. 2.9

правило, экспериментально определяют диаграмму рас­тяжения в координатах s и e (рис. 2.9), На диаграмме от­мечены характерные точки. Дадим их определение.

Наибольшее напряже­ние, до которого материал следует закону Гука, назы­вается пределом про­порциональности s _П. В пределах закона Гука тангенс угла наклона прямой s = f (e) к оси e определяется величиной Е.

Упругие свойства материала сохраняются до напряжения s _У , называемого пределом упругости. Под пределом упругости s _У понимается такое наибольшее напряжение, до которого матери­ал не получает остаточных деформаций, т.е. после полной разгруз­ки последняя точка диаграммы совпадает с начальной точкой 0.

Величина s _Т называется пределом текучести материала. Под пределом текучести понимается то напряжение, при котором происходит рост деформаций без заметного увеличения нагрузки. Если необходимо различать предел текучести при растяжении и сжатии s _Т соответственно заменяется на s _ТР и s _ТС . При напряже­ниях больших s _Т в теле конструкции развиваются пластические деформации e _П, которые не исчезают при снятии нагрузки.

Отношение максимальной силы, которую способен выдержать образец, к его начальной площади поперечного сечения носит на­звание предела прочности, или временного сопротивления, и обоз­начается через, s _ВР (при сжатии s _ВС ).

В табл. 2 приводятся значения указанных характеристик (в кН/м²) наиболее распространенных конструкционных матери­алов.

Таблица 2

Материал	s ТР	s ТС	s ВР	s ВС	Е ×10-8
Сталь				-
Чугун					0.7
Медь				-	1.1
Алюминий				-	0.75

При выполнении практических расчетов реальную диаграмму (рис. 2.9) упрощают, и с этой целью применяются различные ап­проксимирующие диаграммы. Для решения задач с учетом упру­го-пластических свойств материалов конструкций чаще всего применяется диаграмма Прандтля. По этой диаграмме на­пряжение изменяется от нуля до предела текучести по закону Гука s = Е e, а далее при росте e, s = s _Т (рис. 2.10).

Способность материалов получать остаточные деформации но­сит название пластичности. На рис. 2.9 была представлена ха­рактерная диаграмма для пластических материалов.

Рис. 2.10 Рис. 2.11

Противоположным свойству пластичности является свойство хрупкости, т.е. способность материала разрушаться без образова­ния заметных остаточных деформаций. Материал, обладающий этим свойством, называется хрупким. К хрупким материалам относятся чугун, высокоуглеродистая сталь, стекло, кирпич, бетон, природные камни. Характерная диаграмма деформации хрупких материалов изображена на рис. 2.11.