Уравнения с одним неизвестным (скалярные)

Методы решения нелинейных уравнений

ОСНОВЫ ЧИСЛЕННЫХ МЕТОДОВ

Лекция-6

Пусть на участке задана непрерывная функция .

Рис. 2.6.1. К вопросу о решении нелинейного уравнения с одним неизвестным.

Требуется найти корни уравнения

. (2.6.1)

Методы решения нелинейных уравнений делятся на прямые (аналитические, точные) и итерационные. Прямые методы позволяют записать решение в виде некоторого соотношения (формулы). При этом значения корней могут быть вычислены по этой формуле за конечное число арифметических операций. Подобные методы развиты для решения тригонометрических, логарифмических, показательных, а также простейших алгебраических уравнений. Однако подавляющее большинство нелинейных уравнений, встречающихся на практике, не удается решить прямыми методами.

Решение задачи (2.6.1) итерационными методами, как правило, распадается на два этапа.

Первый этап состоит в определенииинтервалов, в которых находится только один корень (если корень существует) – локализация корней.

Второй этап заключается в вычислении каждого корня с заданной точностью – уточнение корней.

Для решения задачи на первом этапе существуют различные аналитические подходы, связанные с определенными типами уравнений (многочлены, тригонометрические уравнения и т.д.), однако, наиболее эффективным численным подходом является метод перебора.

Метод перебора реализуется следующим алгоритмом.

Задается точность, определяемая шагом ,

. (2.6.2)

Затем последовательно вычисляются значения функции :

, , …, , …, . (2.6.3)

В интервалах, на концах которых функция меняет знак:

(2.6.4)

находится корень уравнения. Если , где – заданная точность, то величина (средняя точка интервала ):

(2.6.5)

является приближенным значением корня. Таким способом можно найти все значения корней одновременно. Недостатком метода является относительно большое количество вычислений. Число вычислений значений функцииимеет оценку

. (2.6.6)

Точность метода может быть существенно увеличена, если этим же методом воспользоваться дополнительно на каждом отрезке, на котором было получено приближенное значение корня, но при более мелком разбиении (при меньшей величине шага). При возможном наличии нескольких корней метод перебора является достаточно эффективным при решении практических задач. Для других, более эффективных методов, существенным является допущение, что на отрезке существует только один корень.

З амечания.

1. Достаточным признаком того, что на отрезке существует корень, является выполнение условия (т.е. функция меняет знак на рассматриваемом отрезке).

2. Достаточным признаком единственности корня на отрезке является постоянство знака производной на этом отрезке (т.е. монотонность функции ).

Среди итерационных методов вычисления корней нелинейных уравнений (2-ой этап после локализации корня) рассмотрим следующие: метод половинного деления, метод итерации и метод Ньютона.