Принцип оптимальности Парето

Итальянский экономист и социолог Вильфредо Парето (1848 – 1923), пытаясь математически обосновать концепцию взаимозависимости всех экономических факторов, сформулировал принцип, впоследствии получивший его имя: "Если у вас есть два способа, то следует предпочесть такой способ, который, не уменьшая благосостояния всех, увеличивал бы доход одного".

Дальнейшее применение и развитие этого положения позволило получить весьма конструктивный способ выбора рациональных решений в многокритериальных задачах сравнения альтернативных решений.

Приведем условия оптимальности по Парето в многокритериальных задачах.

Пусть определены n скалярных функций f₁, …, f_n, представляющие собой критерии оценки качества изделий. Под критерием оценки в данном случае понимаются характеристики сравниваемых изделий (например, масса, мощность, и др.)

Принято говорить, что изделие A доминирует по Парето изделие B (A ý B), если f_i (A) ³ f_i (B), i =1, 2, …, n, и хотя бы для одного i такое неравенство выполняется строго. Тогда можно говорить, что выбор изделия A, а не изделия B позволяет иметь по каждой характеристике не меньшее значение, а по одной характеристике лучшее значение. Те изделия, для которых отсутствуют изделия, строго их доминирующие по Парето, называются оптимальными по Парето (или p - оптимальными). Рассмотрим графическую иллюстрацию сказанного (Рис. 1).

Рис. 1. Иллюстрация множества изделий, оптимальных по Парето

Если в данной графической интерпретации полагать, что чем больше значение оценки критериев f₁ и f₂, тем изделие "лучше", то тогда нетрудно заметить, что кривая, расположенная между точками C и D, и являющаяся частью эллипса, охватывающего все сравниваемые изделия, будет представлять собой множество точек "оптимальных по Парето". Можно утверждать, что изделия, входящие во множество оптимальных по Парето, "лучше" всех других изделий из множества рассматриваемых, кроме изделий также входящих во множество оптимальных по Парето.

Таким образом, поиск множества оптимальных по Парето изделий является только первым этапом в общей процедуре выбора наилучшего по техническому уровню изделия. Относительно изделий, входящих во множество оптимальных по Парето, нельзя сказать, какое из них предпочтительнее по значениям характеристик, определяющих его технический уровень. Все эти изделия равнозначны в условиях имеющейся у исследователя информации.

Поэтому требуется проведение дополнительных процедур для выбора из множества оптимальных по Парето изделий одного наилучшего с точки зрения исследователя данной задачи.