Априорные процедуры сравнения изделий

КЛАССИФИКАЦИЯ ПРОЦЕДУР МНОГОКРИТЕРИАЛЬНОЙ ОПТИМИЗАЦИИ

Одна из самых популярных классификаций процедуры принятия решения в задачах при многих критериях, основанная на виде используемой в этих процедурах дополнительной информации, следующая:

- априорные процедуры;

- апостериорные процедуры;

- адаптивные процедуры.

В процедурах априорного типа делается явное или неявное предположение, что вся информация, позволяющая определить наилучшее решение, скрыта в формальной модели задачи выбора наилучшего изделия из множества сравниваемых. Отсюда делается вывод, что, на основе описании множества вариантов решения задачи и целевых функций, можно, с помощью некоторых преобразований, из формальной модели извлечь и конструктивно использовать необходимую информацию для выбора наилучшего изделия.

Апостериорные процедуры обычно связаны с наличием некоторой системы гипотез, которые должны проверяться для каждой конкретной ситуации принятия решений. Эти аксиомы являются как бы дополнительными и в формальную модель задачи не входят. Если проверка аксиом приводит к положительному результату, то это позволяет в ряде случаев построить механизм выбора наилучшего изделия. Проверка аксиоматики связана с привлечением дополнительной информации. Название "апостериорные процедуры" объясняется тем, что сбор этой информации обычно предшествует сравнению изделий с целью выбора наилучшего.

В основе апостериорных процедур лежит логическое предположение, что формальная модель многокритериальной задачи не содержит информации, достаточной для однозначного выбора наилучшего изделия. Для того чтобы это можно было сделать, предлагается получать такую информацию извне, а в качестве ее источника использовать человека, непосредственного ответственного за выбор и последующее использование принятого решения (лицо, принимающее решение, или ЛПР).

Сложность выбора наилучшего изделия при наличии многих характеристик обусловлена тем, что существуют изделия, по формальным признакам, объективно несравнимые друг с другом.

Однако у ЛПР могут быть веские причины, чтобы предпочесть один из несравнимых между собой предметов снабжения другому, поэтому, получая от него информацию о предпочтениях, можно добиться заметного сужения множества несравнимых изделий и в ряде случаев выбрать наилучшее изделие, то есть альтернативу, максимальную в соответствии с предпочтениями ЛПР.

Необходимо отметить, что решения, принимаемые с помощью апостериорных процедур, носят принципиально субъективный характер.

Однако целесообразность привлечения субъективных суждений непосредственно вытекает из самой постановки задачи - вся имеющееся в наличии объективная информация уже использована, например, выделено множество оптимальных по Парето изделий, а несравнимость по-прежнему остается. Учет предпочтений ЛПР в этом случае является одним из наиболее эффективных способов снятия имеющейся неопределенности.

Основная проблема, которая возникает здесь, состоит в выборе языка описания предпочтений ЛПР. Наиболее часто предполагают, что система предпочтений ЛПР может быть представлена в виде некоторого бинарного отношения, заданного на множестве альтернатив.

В большинстве случаев можно полагать, что предпочтения ЛПР устроены очень просто: для любых двух альтернативных изделий A и B ЛПР может определить, либо A лучше B (A ý B), либо B лучше A (B ý A), либо обе альтернативы одинаково хороши (A ~ B).

Для простоты рассуждений обычно полагают, что ЛПР всегда уверен в своих суждениях и исключены случаи, когда ЛПР не уверен в своем предпочтении изделий A или B, или считает A и B несравнимыми по предпочтению.

Причина, по которой вводится такое жесткое условие заключается в том, что рассматривается задача выбора единственной лучшей альтернативы при проведении сопоставительного анализа изделий с целью принять конкретное управленческое решение, например покупать или нет выбранное изделие. Выбор ЛПР должен позволять однозначно решить такую задачу.

Фактически в апостериорных процедурах предполагается, что при надлежащем выборе ЛПР, вся необходимая информация для принятия решения о выборе, может быть получена от ЛПР.

Кроме того, необходимо также принять в качестве условия, что получаемая информация в определенном смысле непротиворечива.

Так, если ЛПР предпочитает изделие A другому изделию B, то имеет смысл потребовать исключение сравнения предпочтений B перед A.

Другим необходимым в практических случаях условием является транзитивность. Если изделие A предпочтительнее для ЛПР чем изделие B, а B предпочтительнее чем изделие C, то следует принять, что A предпочтительнее C.

Таким образом, в сформулированных условиях предпочтения ЛПР описываются некоторой скалярной функцией u (x), которая заранее не известна. Апостериорные процедуры принятия решений заключаются в формулировке дополнительных требований к ЛПР, выполнение которых позволяет однозначно восстановить функцию u (x), после чего задача принятия решений сводится к скалярной оптимизации.

Основным достоинством апостериорных процедур по сравнению с априорными является четкое определение условий, при выполнении которых ими можно пользоваться.

Вместе с тем, практическое использование апостериорных процедур часто наталкивается на определенные трудности, связанные с необходимостью сбора чрезвычайно большого количества информации. По сути, первоначальная задача, стоящая перед исследователем, заменяется другой более объемной. Действительно вначале требовалось найти наилучшее изделие из их исходного множества, а апостериорная процедура позволяет проранжировать все изделия из исходного множества, хотя этого и не требовалась в первоначальной постановке.

Адаптивные процедуры тоже используют дополнительную информацию, но, в отличие от апостериорных процедур, здесь это делается последовательно, одновременно с анализом множеств допустимых вариантов решения задачи.

Как выше отмечалось, при использовании апостериорной процедуры можно не только выбрать наилучшую альтернативу, но и упорядочить все альтернативы. Такой подход к проведению сопоставительного анализа в ряде случаев может привести к неприемлемым затратам времени и ресурсов. При этом, как правило, не требуется упорядочивать все сравниваемые изделия.

Существенно уменьшить, а в ряде случаев и упростить, требуемую от ЛПР информацию можно, если попытаться определить наилучшую альтернативу, не восстанавливая полностью функцию полезности u (x). Процедуры, реализующие эту идею, используют подход, основанный на выявлении предпочтений одновременно с исследованием допустимого множества альтернативных изделий.

Существование функции полезности гарантирует возможность решения исходной задачи по выбору наиболее предпочтительного изделия. Если предположить, что функция полезности известна, то тогда можно воспользоваться какой-либо скалярной процедурой оптимизации. Например, выбрать какое-либо произвольное изделие, исследовать поведение функции полезности в окрестностях этого изделия, выяснить, в каком направлении функция полезности возрастает, сдвинуться в этом направлении, получить новое изделие и повторить процесс. Для того чтобы реализовать этот процесс целесообразно прибегнуть к помощи ЛПР и определять направление движения и величину шага на основе его системы предпочтений.

Подобные алгоритмы используются сравнительно давно и их основная идея практически сводится к тому, чтобы выбрать любой алгоритм математического программирования, который хорошо зарекомендовал себя при решении скалярных оптимизационных задач, и распределить функции между человеком и вычислительной машиной таким образом, чтобы в результате их взаимодействия обеспечивалось получение всей необходимой для работы алгоритма информации.

Рассмотрим более подробно априорные процедуры выбора наилучшего изделия в многокритериальных задачах сравнения изделий.

Как выше было отмечено, априорные процедуры не используют никакой дополнительной информации. Вводится предположение, что если множество решений о предпочтительности применения изделий { A, B, C, …, X } и критерии (основные характеристики изделий) f₁,..., f_n заданы, то этого вполне достаточно для объективного, не зависящего от отсутствующих в данной модели факторов, определения наилучшего по техническому уровню изделия.

Каждый критерий (характеристика изделия) f_i описывает некоторое локальное качество изделия, например, массу, скорость, надежность, расход топлива, быстродействие и т.д. Наилучшее изделие характеризуется наиболее удачным сочетанием всех этих локальных качеств, т.е. имеет максимальное значение "глобального" качества. Таким образом, для выбора наилучшего изделия достаточно понять, каким образом "глобальное" качество зависит от локальных качеств, после чего многокритериальная задача будет сведена к задаче скалярной оптимизации, решение которой не составляет больших трудностей.

Вид "глобальной" функции качества существенно зависит от типа сравниваемых изделий.

В ряде практических случаев может использоваться модель, получившая название "принципа равномерной оптимальности", в которой глобальное качество изделия X представляет собой сумму локальных качеств, то есть

(3)

Этим принципом часто пользуются в задачах, в которых критерии оценки (характеристики изделий) имеют более или менее четко выраженную стоимостную окраску. Если каждый критерий (характеристика) может быть охарактеризован в денежных единицах, то сумма критериев соответствует доходу от выбора изделия X.

Если же критерии ¦ _i не выражаются в одних и тех же единицах измерения (как это бывает в большинстве задач сопоставительного анализа изделий), то для использования формулы (3) их необходимо привести к нормализованному (безразмерному) виду.

Это можно делать путем деления значения каждого критерия (характеристики) на единицу соответствующего масштаба (например, максимальное значение характеристики у изделий в множестве сравниваемых между собой).

Следует отметить, что принцип равномерной оптимальности применим далеко не всегда. Его основным недостатком является возможность компенсации недопустимо малых значений некоторых характеристик достаточно большими значениями других. Действительно, если X характеризует некоторое изделие (например - автомобиль), а характеристики f₁ и f₂ представляют собой его надежность и скорость соответственно, то очень высокой надежностью может обладать автомобиль, который никогда не сможет сдвинуться с места, и, следовательно, будет иметь нулевую скорость. Несмотря на явную бесполезность такого изделия, его глобальное качество может быть достаточно большим, если его определять по принципу равномерной оптимальности.

Данный недостаток преодолевается при следующем принципе выбора наилучшего изделия, получившего в многокритериальных задачах название "принцип справедливого компромисса":

(4)

Этот критерий не дает возможность компенсировать низкое качество по одной характеристике крайне большим значением по другим. В вышеприведенном примере будет присвоено нулевое значение оценки технического уровня автомобилю, который не может ездить.

Часто при выборе наилучшего изделия из множества оптимальных по Парето можно воспользоваться так называемым "принципом гарантированного результата":

(5)

Согласно этому принципу в качестве наилучшего изделия предлагается принять изделие, значения всех характеристик которого не являются наименьшими в рассматриваемом исходном множестве изделий.

Далее кратко рассмотрим, так называемый, метод "идеальной точки" или "точки утопии". Идея метода заключается в следующем: если бы существовало изделие у которого значение всех характеристик было бы наилучшим среди всех рассматриваемых изделий, то тогда его по праву можно было бы объявить самым лучшим по техническому уровню. Однако, как правило, этого не происходит, поэтому в качестве наилучшего изделия предлагается выбрать такое, векторная оценка которого находится ближе всего к идеальной точке.

Рассмотрим данный метод выбора наилучшего изделия в двумерной задаче, когда изделия характеризуются только двумя основными характеристиками (рис. 2). Пусть имеется в исходном множестве четыре изделия X₁, X₂, X₃, X₄, для которых известны значения характеристик f₁ и f₂. Тогда определив максимальное значение по первой характеристике (f₁(X₁)=max) и по второй характеристике (f₂(X₄)=max), можно построить идеальную точку с координатами [ f₁(X₁), f₂(X₄) ].

Ближайшее к идеальной точке изделие можно определить из условия

min (r₁, r₂, r₃, r₄).

Величины r легко определяются простейшими геометрическими вычислениями с использование треугольника Пифагора.

f2

Рис. 2. Иллюстрация метода идеальной точки

Вместе с тем такой подход к сопоставительному анализу технического уровня изделий имеет достаточно серьезный недостаток. Когда говорится о выборе точки, "ближайшей к идеальной", то предполагается, что тем самым вводится некоторая метрика в пространстве векторных оценок. При этом метрику в пространстве векторных оценок можно вводить самыми разнообразными способами. Очевидно, что при разных метриках наилучшими будут оказываться самые разнообразные изделия. Таким образом, задача выбора наилучшего изделия сведена к задаче выбора наилучшей метрики, отвечающей характеру решаемой практической задачи сопоставительного анализа изделий.

К существенному недостатку метода идеальной точки относится, то, что он не удовлетворяет аксиоме независимости.

Действительно, идеальная точка определяется наилучшими значениями характеристик f_i у всех рассматриваемых альтернативных изделий. Но, добавляя к исходному множеству изделий заведомо худшее изделие X₅, у которого одна из характеристик (например, f₂) имеет наилучшее в группе значение, изменяем положение "идеальной точки".

В литературе к процедурам, не удовлетворяющим аксиоме независимости, рекомендуется относиться довольно осторожно, так как порождаемые ими механизмы выбора обладают рядом нерегулярных свойств. Но следует отметить, что многие реально встречающиеся процедуры не удовлетворяют этой аксиоме, хотя и являются интуитивно приемлемыми и их пригодность подтверждается практикой.

В рассмотренных принципах выбора наилучшего изделия в многокритериальных задачах делалось неявное предположение об одинаковой важности характеристик сравниваемых изделий. Очевидно, что в реальной жизни такой случай является скорее исключением, чем правилом. Однако большой проблемы здесь нет. Достаточно только ввести в рассмотрение понятие "коэффициент относительной важности" характеристик. Ведь всегда какие-то характеристики изделия для нас важнее других.

Например, пусть у автомобиля рассматривается три характеристики: f₁ (максимальная скорость автомобиля), f₂ (расход топлива на 100 км пути), f₃ (объем багажника). Если этот автомобиль предназначен для неторопливых туристических поездок на природу, то, очевидно, расход топлива и объем багажника будут гораздо важнее, чем максимальная скорость. В том случае, если этот автомобиль предназначен для человека, который вынужден каждый день добираться из дальнего пригорода на работу в город, то весомость характеристики "максимальная скорость" будет значительно расти.

Таким образом, для условий конкретной задачи выбора наилучшего изделия всегда имеется некоторая важность (ценность) всех рассматриваемых характеристик. Эта важность может меняться при изменении системы предпочтений человека, в интересах которого проводится выбор лучшего изделия. Вопрос здесь в методологии выявления системы предпочтений человека в тех или иных характеристиках. Один из наиболее широко применяемых методов выявления относительной важности характеристик рассматривается в разделах 3 и 4. А пока будем полагать, что мы уже сумели выяснить относительную важность рассматриваемых характеристик сравниваемых изделий и присвоили каждой характеристике коэффициент ее относительной важности µ_i.

При этом важно обеспечить выполнение двух необходимых условий:

µ_i ³ 0, i = 1, 2, …, q; (6)

(7)

где q – количество характеристик, рассматриваемых при сравнении изделий.

Тогда принцип равномерной оптимальности можно сформулировать в следующем виде:

(8)

Принцип справедливого компромисса тогда получит следующий вид:

(9)

Аналогичным образом могут быть уточнены и другие рассмотренные априорные процедуры.