Методы составления характеристического уравнения

Классический метод расчета переходных процессов

Переходные процессы в любой электрической цепи можно описать систе­мой дифференциальных уравнений, составленных для схемы цепи по законам Кирхгофа. В математике известно несколько методов решения систем диффе­ренциальных уравнений: классический, операционный, численный и др. Назва­ние метода расчета переходных процессов адекватно названию математиче­ского метода решения системы дифференциальных уравнений, которыми опи­сывается переходные процессы.

Исключая из системы дифференциальных уравнений Кирхгофа лишние переменные, получим в результате для искомой функции x (t) неоднородное дифференциальное уравнение n -го порядка:

,

где х – искомая величина, например i или u; a_k – постоянные коэффициенты; F (t) – некоторая функция времени, определяемая источником энергии.

Из курса математики известно, что решение (общий интеграл) линейного неоднородного дифференциального уравнения состоит из суммы двух решений: а) - полного решения однородного (без правой части) дифференциального уравнения и б) - частного решения неоднородного дифференциального уравнения для t = ∞:

.

Вид частного решения для t = ∞ определяется источниками энергии и соответствует значению искомой функции в установившемся послекоммута­ционном режиме: . В электротехнике эта составляющая решения получила название установившейся.

Полное решение однородного дифференциального уравнения имеет вид:

,

где А₁, А₂,…, Аn – постоянные интегрирования; p ₁, p ₂,…, p _n – корни характери­стического уравнения, которое получают из однородного дифференциального, заменив в нем х →1, dx/dt → p и т.д.:

.

Эта составляющая решения не зависит от источников энергии, в электро­технике она получила название свободной: .

Таким образом, решение для искомой функции (тока, напряжения) может быть представлено в принятой в электротехнике форме:

.

Физический смысл имеет только полное решение для искомой функции x (t), а ее отдельные составляющие и являются расчетными величи­нами.

Метод расчета переходного процесса, заключающийся в решении неодно­родного дифференциального уравнения классическим методом математики, по­лучил название классического.

Расчет переходного процесса классическим методом состоит из следую­щих составных частей или этапов:

а) расчет установившейся составляющей ;

б) составление характеристического уравнения и определение его корней p ₁,…, p _n;

в) определение постоянных интегрирования А ₁, А ₂,….

Следует отметить, что расчет переходного процесса классическим мето­дом выполняется не в строгом соответствии с математическим методом реше­ния неоднородного дифференциального уравнения. Физические законы элек­тротехники позволяют существенно упростить это решение.

5. Определение установившейся составляющей

Как известно, установившаяся составляющая искомой функции , яв­ляясь частным решением неоднородного дифференциального уравнения при t =∞, соответствует значению искомой функции в установившемся после комму­тации режиме. Определение этой составляющей математическим методом из решения дифференциального уравнения довольно сложно и трудоемко. Гораздо проще найти эту функцию инженерным методом путем расчета схемы цепи в установившемся режиме после коммутации, что и делают на практике.

Пример. Определить установившуюся составляющую для тока i_у в схеме рис. 130 при заданных значениях параметров элементов: R ₁=50 Ом, L =100 мГн, R ₂=100 Ом, C =50мкФ, а)для постоянной ЭДС e (t)= E =150 В = const; б)для сину­соидальной ЭДС e (t)=150sin ωt, f =50 Гц.

После коммутации ветвь с резистором R ₂ отключается и не оказывает влияния на режим остальной схемы.

а) При постоянной ЭДС источника e (t) =Е=const ток в схеме протекать не может (сопротивление конденсатора постоянному току равно ∞), следовательно i_у (t) = 0.

б) При переменной ЭДС источника e (t) =Е_m sin ωt расчет установившегося режима выполняется в комплексной форме для комплексных амплитуд функ­ций. По закону Ома:

A

A

Вид установившейся составляющей соответствует виду источников энер­гии, которые действуют в схеме цепи.

Свободный режим схемы не зависит от источников энергии, определяется только структурой схемы и параметрами ее элементов. Из этого следует, что корни характеристического уравнения p ₁, p ₂,…, p_n будут одинаковыми для всех переменных функций (токов и напряжений).

Характеристическое уравнение можно составить различными методами. Первый метод – классический, когда характеристическое уравнение составля­ется строго в соответствии с дифференциальным по классической схеме. При расчете переходных процессов в сложной схеме составляется система из “ m ” дифференциальных уравнений по законам Кирхгофа для схемы цепи после коммутации. Так как корни характеристического уравнения являются общими для всех переменных, то решение системы дифференциальных уравнений вы­полняется относительно любой переменной (по выбору). В результате решения получают неоднородное дифференциальное уравнение с одной переменной. Со­ставляют характеристическое уравнение в соответствии с полученным диффе­ренциальным и определяют его корни.

Пример. Составить характеристическое уравнение и определить его корни для переменных в схеме рис. 131. Параметры элементов заданы в общем виде.

Система дифференциальных уравнений по законам Кирхгофа:

Решим систему уравнений относительно переменной i ₃, в результате по­лучим неоднородное дифференциальное уравнение:

Характеристическое уравнение и его корень:

[c^-1]

Второй способ составления характеристического уравнения заключается в приравнивании нулю главного определителя системы уравнений Кирхгофа для свободных составляющих переменных.

Пусть свободная составляющая произвольного тока имеет вид , тогда

Система уравнений для свободных составляющих получается из системы дифференциальных уравнений Кирхгофа путем замены производных от пере­менных на множитель р, а интегралов – на 1 /р. Для рассматриваемого примера система уравнений для свободных составляющих имеет вид:

Характеристическое уравнение и его корень:

Третий способ составления характеристического уравнения (инженерный) заключается в приравнивании нулю входного операторного сопротивления схемы относительно любой ее ветви.

Операторное сопротивление элемента получается из его комплексного сопротивления путем простой замены множителя jω на р, следовательно

Для рассматриваемого примера:

;

;

.

Третий способ является наиболее простым и экономичным, поэтому он чаще других применяется при расчете переходных процессов в электрических цепях.

Корни характеристического уравнения характеризуют свободный пере­ходной процесс в схеме без источников энергии. Такой процесс протекает с по­терями энергии и поэтому затухает во времени. Из этого следует, что корни ха­рактеристического уравнения должны быть отрицательными или иметь отрица­тельную вещественную часть.

В общем случае порядок дифференциального уравнения, которым описы­вается переходный процесс в схеме, и, следовательно, степень характеристиче­ского уравнения и число его корней равны числу независимых начальных усло­вий, или числу независимых накопителей энергии (катушек L и конденсаторов C). Если в схеме цепи содержатся параллельно включенные конденсаторы С ₁, С ₂,… или последовательно включенные катушки L ₁, L ₂,…, то при расчете пере­ходных процессов они должны быть заменены одним эквивалентным элемен­том С _Э = С ₁ + С ₂+… или L _Э = L ₁ + L ₂+…

Таким образом, общий вид решения для любой переменной при расчете переходного процесса может быть составлен только из анализа схемы цепи, без составления и решения системы дифференциальных уравнений.

Для рассматриваемого выше примера:

а)– при e (t)= E =const;

б) – при e (t)= E_m sin(ωt +).