Определение постоянных интегрирования

Определение постоянных интегрирования производится на заключитель­ном этапе расчета переходного процесса, когда остальные составляющие реше­ния уже найдены. Постоянные интегрирования определяются путем подста­новки в решение для искомой функции соответствующих начальных условий.

Пусть решение для искомой функции i (t) содержит только одну постоян­ную интегрирования:

Постоянная интегрирования находится путем подстановки в решение на­чального условия для самой функции, т.е. i (0):

.

Пусть решение для искомой функции i (t) содержит две постоянных ин­тегрирования и имеет вид:

Постоянные интегрирования в этом случае находятся путем подстановки в решение начальных условий для самой функции i (0) и для ее первой произ­водной :

В результате совместного решения этой системы уравнений определяют искомые постоянные интегрирования А ₁ и А ₂.

Последовательность выполнения отдельных этапов расчета переходных процессов классическим методом показана ниже в виде диаграммы.

Примечания: 1. Выполнение всех этапов, обозначенных в диаграмме клетками, является обязательным и необходимым.

2. Выполнение первых пяти этапов, находящихся в верхнем горизонталь­ном ряду диаграммы, может производиться в любой последовательности, так как они не зависят друг от друга.

Пример. Для схемы рис. 132 с заданными параметрами элементов: Е =100 В, R =50 Ом, R ₁=20 Ом, R ₂=30 Ом, С =83,5 мкФ, определить ток i ₁ после комму­тации.

1)Общий вид решения для искомой функции:

2)Определение установившейся составляющей израсчета схемы после коммутации:

А

3)Характеристическое уравнение и его корень:

, с^-1

4)Независимое начальное условие u _с(0) из расчета схемы до коммутации:

В

5)Система дифференциальных уравнений по законам Кирхгофа для схемы после коммутации:

(1)

(2)

(3)

6)Начальное условие i ₁(0), необходимое для определения постоянной ин­тегрирования из уравнения (1):

А

7)Определение постоянной интегрирования:

А

8)Решение для искомой функции:

9)Графическая диаграмма искомой функции i ₁(t) показана на рис. 133:

9. Операторный метод расчета переходных процессов

Если система дифференциальных уравнений, которыми описывается пе­реходной процесс в схеме, решается операционным методом, то и сам метод расчета переходного процесса также называется операционным или оператор­ным.

Сущность операторного метода состоит в том, что на 1-ом этапе действи­тельные функции времени i (t), u (t), называемые оригиналами, заменяются неко­торыми новыми функциями I (p), U (p), называемыми операторными изображе­ниями. Соответствие между оригиналом функции f (t) и ее операторным изобра­жением F (p) устанавливается на основе прямого преобразования интеграла Ла­пласа:

или ,

где Û - знак соответствия; p=s+jw - комплексный оператор Лапласа.

Если s = 0, то p= jw, и преобразование Лапласа превращается в преобра­зование Фурье, которое лежит в основе комплексного метода расчета цепей пе­ременного тока.

Преобразование Лапласа позволяет заменить операции 2-го рода над ори­гиналами функций (дифференцирование и интегрирование) на операции 1-го рода (умножение и деление) над операторными изображениями этих функций.

Расчет переходных процессов операторным методом условно выполня­ется в 3 этапа.

На 1-м этапе расчета система дифференциальных уравнений, составлен­ная по законам Кирхгофа для оригиналов функций, после применения преобра­зования Лапласа превращается в систему алгебраических уравнений для опера­торных изображений этих функций.

На 2-ом этапе выполняется решение системы алгебраических оператор­ных уравнений относительно искомой функции, в результате чего получают выражение искомой функции в операторной форме F (p).

На заключительном 3-м этапе выполняется обратный переход от найден­ного операторного решения для искомой функции F (p) к соответствующей ей функции времени f (t), т. е. Выполняется переход от изображения функции F (p)к ее оригиналу f (t).

Теоретически обратный переход от операторного изображения функции F (p)к ее оригиналу f (t) устанавливается на основе обратного преобразования Лапласа:

.

На практике для обратного перехода используются более простые и удоб­ные методы, а именно: формула разложения и таблицы соответствия.