Переходные функции по току и напряжению

Пусть произвольная электрическая цепь с нулевыми начальными условиями в момент времени включается под действием источника постоянной ЭДС (рис. 148).

а)

Рис. 148

Переходной процесс не изменится, если из схемы убрать ключ, а постоянную ЭДС заменить скачкообразной со скачком в момент (рис. 149).

Функция называется единичной скачкообразной функцией, имеющей значения:

Возникающие на любых участках цепи токи и напряжения прямо пропорциональны скачкообразной ЭДС :

где - переходная функция по току, или переходная проводимость, - переходная функция по напряжению.

Переходная функция по току или по напряжению называется функция по времени, численно равная соответствующему току или напряжению при включении цепи с нулевыми начальными условиями к источнику единичной постоянной . Переходные функции и могут быть рассчитаны для любой схемы классическим или операторным методом.

Пример. Рассчитать переходные функции для тока и напряжения в цепи R, С.

Выполним расчет переходного процесса в цепи R, C при включении ее к источнику постоянной ЭДС (рис. 3) классическим методом. В результате найдем:

; .

Искомые переходные функции получим из найденных выражений, заменив в них Е на 1.

; .

Переходные функции используются при расчете переходных процессов методом интеграла Дюамеля.

19. Расчет переходных процессов методом интеграла Дюамеля

Метод интеграла Дюамеля применяется для расчета переходных процессов в электрических цепях в том случае, если в рассматриваемой цепи действует источник ЭДС произвольной формы, отличной от стандартной (постоянной или синусоидальной).

Пусть к источнику ЭДС произвольной формы подключается цепь с нулевыми начальными условиями и с заданной переходной проводимостью (рис. 4).

Заменим непрерывную кривую ЭДС приближенно ступенчатой с интервалами по оси между отдельными скачками, равными . Первый скачок ЭДС равен и действует в момент . Все последующие скачки ЭДС можно определить как и действуют они с запаздыванием на , то есть в момент . Ток на выходе цепи в произвольный момент времени t можно рассматривать в соответствии с принципом наложения как сумму частичных токов, возникающих под действием отдельных скачков ЭДС, следующих друг за другом через промежутки в интервале времени от 0 до t.

Частичный ток, вызванный первым источником ЭДС, будет равен , а частичные токи, вызванные последующими скачками ЭДС, будут равны: .

Результирующий ток равен сумме частичных токов:

Перейдем к бесконечно малым интервалам и заменим сумму интегралом:

Полученное выражение для носит название интеграла Дюамеля и применяется на практике для расчета переходных процессов в электрических цепях при воздействии на них источников ЭДС или тока произвольной формы.

Порядок применения интеграла Дюамеля:

1) Выполняют расчет переходного процесса классическим или операторным методом при включении исследуемой цепи к источнику единичной постоянной ЭДС и таким образом определяют необходимую переходную функцию по току или по напряжению .

2) Определяют переходную функцию или путем замены в выражениях или переменной на .

3) Находят производную от функции ЭДС и в полученном выражении заменяют переменную t на t, в результате получают функцию .

4) Выражения функций , или подставляют в формулу интеграла Дюамеля, выполняют интегрирование по переменной и подставляют пределы интегрирования по переменной t. При необходимости упрощают структуру полученного выражения искомой функции или .

Замечания:

1) Если функция претерпевает скачки или разрывы, то она разбивается на отдельные участки с плавным изменением функции, при этом интеграл Дюамеля применяется к каждому участку в отдельности.

2) При расчете переходных процессов в цепях постоянного или синусоидального тока метод интеграла Дюамеля проигрывает классическому и операторному методам, поэтому для таких цепей он не применяется.

Пример. Рассчитать ток в цепи R, C при действии на нее трапециевидного импульса с заданными параметрами (рис. 152):

Переходная проводимость схемы:

; .

Производная от функции ЭДС : ; .

Так как функция в момент времени изменяется скачком, то ее разбиваем на два участка , для каждого из которых находим свое решение для искомой функции .