Нелинейные уравнения установившегося режима

Нелинейные уравнения узловых напряжений описывают установившийся режим электрической системы при задании нелинейных источников тока. В схеме замещения электрической системы нелинейным источникам тока соответствуют генераторы с заданной мощностью, либо нагрузки потребителей, заданные статической характеристикой или постоянной мощностью. При заданной мощности нагрузки потребителя и генератора ток задается в следующем виде:

где – сопряженная заданная мощность трех фаз -го узла;

– сопряженный комплекс междуфазного напряжения -го узла;

– нелинейный ток, зависящий от напряжения.

В матричной форме уравнения узловых напряжений имеют вид:

где – вектор-столбец, -й элемент которого равен ;

– заданное напряжение балансирующего узла.

Записанное уравнение – уравнение узловых напряжений в форме баланса токов.

Уравнения узловых напряжений можно записать в форме баланса мощности. В матричной форме:

где – диагональная матрица, -й диагональный элемент которой равен сопряженному комплексу напряжения -го узла.

Нелинейные уравнения установившегося режима в общей форме можно записать в виде системы неявных функций:

где – вектор-функция;

и – вектор-столбцы зависимых и независимых параметров режима.

При расчетах вектор независимых переменных задан, т.е. .

Нелинейную систему можно записать:

Метод Зейделя

Метод Зейделя может применяться для решения нелинейных уравнений узловых напряжений в форме баланса токов. Итерационный процесс Зейделя определяется выражением:

Сходимость метода Зейделя к решению нелинейных уравнений установившихся режимов медленная. Для ускорения сходимости метода Зейделя применяются ускоряющие коэффициенты. Основное достоинство метода Зейделя состоит в том, что он легко программируется и требует малой оперативной памяти. Недостаток метода – в медленной сходимости, или расходимости. Метод Зейделя особенно медленно сходится и расходится в расчетах установившихся режимов электрических систем с устройствами продольной компенсации, с трехобмоточными трансформаторами или автотрансформаторами с очень малым сопротивлениями обмотки среднего напряжения и для систем с сильной неоднородностью параметров.

Результаты решения нелинейных уравнений узловых напряжений в форме баланса токов в среде MathCAD методом Зейделя, а так же сама программа расчета, приведены в Приложении.

Метод Ньютона

Идея метода Ньютона состоит в последовательной замене на каждой итерации системе нелинейных уравнений некоторой линейной системой, решение которой дает значение неизвестных, более близкие к решению нелинейной системы, чем исходное приближение.

Рассмотрим решение по методу Ньютона системы нелинейных уравнений с действительными переменными:

Если использовать вектор-столбец и вектор-функцию , где

то систему нелинейных уравнений можно записать в матричном виде:

Пусть , , - начальные приближения неизвестных. Заменим каждое из нелинейных уравнений линейным, полученным разложением в ряд Тейлора.

Запишем матрицу Якоби, т.е. матрицу производных системы функций , по переменным :

Тогда систему линеаризованных уравнений можно зависать в матричном виде:

Эта система линейна относительно поправок

Матрица Якоби не должна быть вырожденной, тогда решая полученную систему (линейную) любым способом, находим первое приближение переменных:

Каждый шаг итерационного процесса состоит из решения линейной системы:

и определения следующего приближения неизвестных:

Контроль сходимости осуществляется по вектору невязок:

Уравнение узловых напряжений в форме баланса мощностей для -го узла можно записать в следующем виде:

Слагаемое внесено в сумму, балансирующему узлу присвоен номер .

Выделим в уравнении действительные и мнимые части:

где , – соответственно небалансы активных и реактивных мощностей в узле

, – вектор-столбцы действительных и мнимых составляющих напряжений.

В расчетах на ЭВМ обычно в качестве неизвестных используются модули и фазы напряжений узлов и .

Уравнение баланса мощностей для -го узла при переменных и :

где

Уравнение в форме баланса мощностей:

С учетом реальных условий в электрических системах можно пренебречь недиагональным элементами матрицы Якоби, т.е.

Метод Ньютона очень быстро сходится и имеет высокую надежность.

Результаты решения нелинейных уравнений узловых напряжений в форме баланса мощностей в полярной системе координат в среде MathCAD методом Ньютона, а так же сама программа расчета, приведены в Приложении.

Заключение

В курсовой работе была рассмотрена сложная электрическая система. Подробно рассмотрено составление схемы замещения электрической системы и расчет матрицы узловых проводимостей. Приводятся основные методы решения нелинейных уравнений установившегося режима работы электрической системы. Разработана программа в среде MathCAD для решения нелинейных систем методам Ньютона и Зейделя. Предпочтение отдается методу Ньютона из-за высокой надежности и быстрой сходимости.

Список использованной литературы

1. «Справочник по проектированию электроснабжения, линий электропередачи и сетей». Под ред. Я.М. Большама, В.И. Круповича, М.Л. Самовера; М.: «Энергия», 1974г.

2. «Справочник по электроснабжению промышленных предприятий». Под ред. А.А. Федорова, Г.В. Сербиновского. М.: «Энергия», 1973г.

3. «Электрические системы и сети». Под ред. Л.Н. Баптиданова. Л.: «Госэнергоиздат», 1963г.

4. Конспекты лекций по «Математическим задачам в энергетике».

Приложение

Метод Зейделя