Множество – совокупность элементов, обладающих каким-то одним общим свойством.
Множество обозначают: M,N …..
m1, m2,.., mn – элементы множества.
– принадлежность элемента m к множеству M.
– непринадлежность элемента m к множеству M.
Пример 1. Числовые множества:
· 1,2,3,… множество натуральных чисел N;
· 0,1,2,3,… множество натуральных чисел, включая 0 N0;
· …,-2,-1,0,1,2,… - множество целых чисел Z;
· множество рациональных чисел.
Пустое множество - множество, не содержащее элементов. Обозначается символом Æ.
Пример 2. Пустое множество: сумма углов D ¹ 1800 пустое: M = Æ.
Множество А называется подмножеством В, если всякий элемент a является элементом b.
А Í В – А подмножество В (нестрогое включение), Í - знак нестрогого включения.
Если А Í В и А ¹ В то А Ì В (строгое включение).
Если А Í В, то множество А называется подмножеством множества В (также говорят, что В покрывает А). Если при этом А ¹ В, то множество А называется собственным подмножеством А Ì В ( рис. 1.1).
|
|
Рис. 1.1. Строгое включение множества А в В АÌВ.
Два определения равенства множеств:
1) Множества А и В равны, если их элементы совпадают A = B;
2) Множества А и В равны, если aeyrwbz
3).
Пусть A — множество. Множество всех подмножеств множества A называется булеаном A (также степенью множества, показательным множеством или множеством частей) и обозначается Р(А) или 2A. Ясно, что 0ÎР(А) и АÎР(А).
Утверждение. Число подмножеств конечного множества, состоящего из n элементов равно 2 n.
Доказательство. Если n = 0, т.е. множество пусто, то у него только одно подмножество – оно само, и интересующее нас число равно 20 = 1.
Пусть утверждение справедливо для некоторого n и пусть M – множество с кардинальным числом n + 1. Зафиксировав некоторый элемент а0ÎМ, разделим подмножества множества M на два типа:
1. содержащие a 0,
2. не содержащие a 0, то есть являющиеся подмножествами множества М – {а0}.
Подмножеств типа (2) по предположению 2 n. Но подмножеств типа (1) ровно столько же, так как подмножество типа (1) получается из некоторого и притом единственного подмножества типа (2) добавлением элемента a 0 и, следовательно, из каждого подмножества типа (2) получается этим способом одно и только одно подмножество типа (1). Поэтому число всех подмножеств множества M равно 2n + 2n = 2n + 1.
Множества бывают конечные и бесконечные.
Конечное множество имеет конечное количество элементов, в противном случае множество называется бесконечным.
Мощность множества - число элементов конечного множества. Обозначается как |М|.
Если дано множество Е и мы рассматриваем все его подмножества, то множество Е называется универсальным множеством.
|
|
Пример 3. Если за Е взять множество книг, то его подмножества: книги по математике, биологии, физике, химии…
Если универсальное множество состоит из n элементов, то число подмножеств = 2n.
Если , состоящее из элементов E, не принадлежащих А, называется дополненным.
Три способа задания множества:
1) Перечислением, то есть списком своих элементов. Списком можно задать лишь конечные множества. Обозначение списка – в фигурных скобках. Например, множество А специальности университета А={менеджмент организации, управление персоналом, автоматизация производства};
2) Описанием характеристических свойств, которыми должны обладать его элементы. Например, А все целые числа в интервале 1<x<5. А={2, 3, 4};
3) Порождающей процедурой, которая описывает способ получения элементов множества из уже полученных элементов, либо других объектов. В таком случае элементами множества являются все объекты, которые могут быть построены с помощью такой процедуры. Например, А множество корней уравнения х2 − 3 х + 2 = 0. А={1, 2}.