Логические операции над нечеткими множествами

Включение. Пусть A и B - нечеткие множества на универсальном множестве X. Говорят, что A содержится в B, или B включает A, т.е. AB, если . Иногда используют термин «доминирование», т.е. B доминирует A при A B (рис. 2.6).

Рис. 2.6.Операция включение (доминирование) нечетких множеств

Равенство. Пусть A и B -нечеткие множества на универсальном множестве X. Говорят, что A и B равны, т.е. A=B, если . В противном случае A≠B (рис. 2.7).

Рис. 2.7.Операция равенства нечетких множеств

Дополнение. Пусть A и B – нечеткие множества с множеством принадлежностей характеристических функций , заданные на универсальном множестве X. Говорят, что A и B дополняют друг друга, т.е. или , если (рис. 2.8). Очевидно следствие =A так называемое свойство инволюции.

Рис. 2.8.Операция дополнение нечетких множеств

Пересечение нечетких множеств (рис. 2.9) A и B, заданных на универсальном множестве X, - это наибольшее нечеткое множество A B, содержащееся одновременно и в A, и в B с функцией принадлежности:

Рис. 2.9.Операция пересечение нечетких множеств

Объединение нечетких множеств (рис. 2.10) A и B, заданных на универсальном множестве X, - это наименьшее нечеткое множество A B, включающее как A, так и B с функцией принадлежности, заданной следующим образом:

тут максимум

Рис. 2.10.Операция объединение нечетких множеств

Разность нечетких множеств A и B (рис. 2.11), заданных на универсальном множестве X, - это нечеткое множество A\B=A с функцией принадлежности, заданной как:

Рис. 2.11.Операция разность нечетких множеств

Симметрическая разность нечетких множеств A и B, заданных на универсальном множестве X, - это нечеткое множество A-B с функцией принадлежности, заданной следующим образом:

Дизъюнктивная сумма нечетких множеств A и B (рис. 2.12), заданных на универсальном множестве X, - это нечеткое множество с функцией принадлежности, заданной следующим образом: