Свойства функции полезности

Классификация моделей в экономике

Математическая модель и её основные элементы.

Опр. Математическая модель экономического объекта - это гомоморфное отображение в виде совокупности уравнений, неравенств, логических отношений, графиков. Гомоморфное отношение объединяет группы элементов изучаемого объекта в аналогичные отношения элементов модели. Модель – это условный образ объекта, построенный для упрощения его исследования. Предполагается, что изучение модели дает новые знания об объекте, либо позволяет определить наилучшее решение в той или иной ситуации.

Математические модели, используемые в экономике можно подразделить на классы по ряду признаков, относящихся к:

1. особенностям моделируемого объекта;
2. цели моделирования;
3. используемого инструментария.

Выделяют следующие классы моделей:

1. Макроэкономические модели описывают экономику как единое целое, связывая между собой укрупненные материальные и финансовые показатели: ВВП, потребление, инвестиции, занятость, процентную ставку, количество денег и т.д.

2. Микроэкономические модели описывают взаимодействие структурных и функциональных составляющих экономики, либо поведение отдельной такой составляющей в рыночной среде. В следствии разнообразия типов экономических элементов и форм их взаимодействия на рынке, микроэкономическое моделирование занимает основную часть экономико-математической тории. Наиболее серьезные теоретические результаты здесь получены в последние годы в исследовании стратегического поведения с использованием аппарата теории игр.

3. Теоретические модели позволяют изучать общие свойства экономики и ее характерных элементов дедукцией видов из формальных предпосылок.

4. Прикладные модели дают возможность оценить параметры функционирования конкретного экономического объекта и сформулировать рекомендации для принятия практических решений. К прикладным относятся прежде всего экономические модели, оперирующие числовыми значениями экономических переменных и позволяющие статистически значимо оценивать их на основе имеющихся наблюдений.

5. Равновесные модели – описывают такие состояния экономики, когда результирующее всех сил стремящихся вывести ее из данного состояния равна нулю. В непрерывной экономике неравновесие по одним параметрам (например дефицит) компенсируется другими факторами (черный рынок, очереди и т.д.). Равновесие модели дескриптивны, описательны. Оптимизация в теории рыночной экономики присутствуют в основном на микроуровне (максимализация полезности потребления или прибыли фирмы); на макроуровне результатом рационального выбора поведения экономическими субъектами оказывается некоторое состояние равновесия.

6. Статические модели описывают состояние экономического объекта в конкретный момент или период времени. В статических моделях обычно зафиксированы значения ряда величин являющихся переменными в динамике, например цен, капитальных ресурсов и т.п.

7. Динамические модели включают взаимосвязи переменных во времени. Динамическая модель не сводится к простой сумме ряда статических, и описывает силы и взаимодействия в экономике, определяющей ход процесса в ней. Динамические модели обычно используют аппарат дифференциальных и разностных уравнений, вариационного исчисления.

8. Детерминированные модели предполагают жесткие функциональные связи между переменными модели.

9. Стохастические модели допускают наличие случайных воздействия на исследуемые показатели и используют инструментарий теории вероятности и математической статистике для их описания.

1. Теория потребительского поведения

Пусть потребитель располагает доходом I, который он полностью тратит на приобретение благ (продуктов).

Уточним I – это не доход, а расход данного потребителя. Потребитель решает статистическую задачу, т.е. в модели не учитываются его межвременные предпочтения и возможности делать и расходовать сбережения. Цели благ считаются заданными. Учитывая структуру цен, доход и собственные предпочтения, потребитель приобретает определенные количества благ.

Опр. Математическая модель такого поведения называется моделью потребительского выбора.

Пусть даны наборы двух потребительских благ. Потребительский набор – вектор (х₁, х₂), где х₁ – количество единиц первого блага, х₂ – количество единиц второго блага.

Выбор потребителя (индивидуума) характеризуется отношением предпочтения: считается, что потребитель про каждые два набора может сказать, что-либо один из них более желателен, чем другой, либо потребитель не видит между ними разницы.

На множество потребительских наборов (х₁, х₂) определена функция U(х₁, х₂) ­– называемая функция полезности потребителя, значение U(х₁, х₂) – равно потребительской оценке индивидуума для этого набора. Потребительскую оценку U(х₁, х₂) набора (х₁, х₂) – называют уровнем или степенью удовлетворения потребностей индивидуума, если потребитель приобретает или потребляет данный набор (х₁, х₂).

Каждый потребитель имеет свою функцию полезности. Если набор А предпочтительнее набора В, то U(A)> U(B).

Опр. Линия, соединяющая потребительские наборы (х₁, х₂), имеющие один и тот же уровень удовлетворения потребностей индивидуума, называется линией безразличия.

Линия безразличия есть не что иное, как линия уровня функции полезности. Множество линий безразличия, соответствующие разным уровням удовлетворения потребностей называется картой линий безразличия.

x2

Рис.1

Функция полезности удовлетворяет свойствам:

1. возрастание потребления одного продукта при постоянном потреблении другого продукта введет к росту потребительской оценки, т.е.

если , то U

если , то U

1`.

Из свойства 1` следует свойство 1.

Опр. Первые частные производные называют предельными полезностями продуктов:

- предельная полезность первого продукта,

- предельная полезность второго продукта.

Используется символика:

M₁U(x_1,x₂), M₂U(x_1,x₂)

1. Предельная полезность каждого продукта уменьшается, если объём его потребления растёт (это свойство называют законом убывающей предельной полезности).

2`. ;

Из свойства 2` следует свойство 2.

1. Предельная полезность каждого продукта увеличивается, если растет количество другого продукта. В этом случае продукт количество которого фиксировано, оказывается относительно дефицитным. Поэтому дополнительная его единица приобретает большую ценность и может быть потреблена более эффективно. Данное свойство не столь очевидно как 1 или 2, и справедливо не для всех благ: если блага могут полностью замещать, друг друга в потреблении свойства 3 не выполняется.

Предположение 3 вводится не всегда, но оно гарантирует выпуклость вниз линии безразличия.

3`.

Из свойства 3` следует свойство 3.

Опр. Под предельной полезностью первого(второго) продукта понимают отношении приращения функции полезности к приращению вызвавшего его количество этого продукта:

или

.

Тогда предельную полезность первого (второго) продукта называют разность:

или

; .

Рассмотрим фиксированную линию безразличия l. Пусть потребительский набор (x_1,x₂)l. При выполнении предположений: непрерывность первых частных производных , и справедлива формула:

(1)

Рассмотрим рисунок Рис.2.

Рис.2.

Имеем приближенное равенство

(2)

Из (1) и (2) вытекает приближенное равенство:

Отношение показывает, на сколько должен индивидуум увеличить (уменьшить) потребление второго продукта, если он уменьшил (увеличил) потребление первого продукта на одну единицу без изменения уровня удовлетворения своих потребностей.

Это обстоятельство геометрически представлено так: точки (х₁, х₂), (х₁+Δх₁, х₂ +Δх₂) принадлежат одной и той же линии без различия l.

Опр. Дробь: принято называть нормой замены первого продукта вторым на потребительском наборе (х₁, х₂), а производную при предельной нормой замены первого продукта вторым.

Пример

Пусть функция полезности выражается через функцию:

,

где

Тогда имеем

т.е. свойства 1^' и 2^' функции полезности выполнены.

Свойство 3΄, не выполнено, так смешанные вторые частные производные функции U (х₁, х₂) равны нулю.

Задача потребительского выбора (задача рационального поведения потребителя на рынке) заключается в выборе такого потребительского набора (х₁⁰, х₂⁰), который максимизирует его функцию полезности при заданном бюджетном ограничении.

Бюджетное ограничение означает, что денежные расходы на продукты не могут превышать денежного дохода, т.е. р₁х₁ + р₂х₂ ≤ I, где р₁, р₂ – рыночные цены одной единицы первого и второго продуктов соответственно, а I – доход индивидуума, который он готов потратить на приобретение первого и второго продуктов, Величины р₁, р₂, I – заданы (экзогенные).

Формально задача потребительского выбора имеет вид:

U (х₁, х₂) → (max)

р₁х₁ + р₂х₂ ≤ I (3)

х₁ ≥ 0, х₂ ≥ 0

Допустимое множество (то есть множество наборов благ, доступных для потребителя) представляет собой треугольник, ограниченный осями координат и бюджетной прямой (рис.2).

х₂ бюджетная прямая

Линия безразличия

(х₁⁰, х₂⁰)

O

Рис.2

На этом множестве требуется найти точку, принадлежащую кривой безразличия с максимальным уровнем полезности. Поиск этой точки можно интерпретировать графически как последовательный переход на линии все более высокого уровня полезности (вправо – вверх) до тех пор, пока эти линии еще имеют общие точки с допустимым множеством.

Набор (х₁⁰, х₂⁰), которой является решением задачи потребительского выбора, принято называть оптимальным равновесием потребителя или локальным рыночным равновесием потребителя.