Линейная производственная функция

.

Графиком ПФ , (а₁+а₂=1) в трехмерном пространстве является двумерная поверхность G, эскиз который представлен на рисунке 5.

g

(x_1,x⁰_2,y)

x₂

x⁰₂

(x_1,x⁰₂)

x₁

x₁

рис.5

График G в рассматриваемом случае есть коническая поверхность, направляющей которой является линия L, а образующими - лучи, выходящие из точки 0.

Пусть , тогда и мы получаем вариант ПФ, аналогичный рассмотренному на рис. 4 и на рис. 6.

Линия g есть пересечение поверхности G вертикальной плоскостью. .

На рис. 6 представлен фрагмент рис. 5, относящийся к линии g.

Поведение линии g отражает то обстоятельство, что с ростом затрат первого ресурса объём выпуска y растёт, но каждая дополнительная единица первого ресурса обеспечивает всё меньший прирост выпуска y.

Это обстоятельство можно интерпретировать так: если число работников и их квалификация остаются неизменными, а число обслуживаемых ими станков увеличивается, например, в два раза, то это не приведёт к двойному росту объёма выпуска.

Если , то графиком функции G ПФКД является поверхность, которая напоминает выпуклую вверх «горку», крутизна которой падает, если точки перемещается на «северо-восток» по плоскости .

Пример 3. Линейная ПФ (ЛПФ) имеет вид (двухфакторная) и (многофакторная), ЛПФ принадлежит к классу аддитивных ПФ (АПФ). Переход от мультипликативной ПФ к аддитивной осуществляется с помощью операции логарифмирования.

Для двухфакторной мультипликативной ПФ

Пусть lny=w, lnx₁=v₁, lnx₂=v₂ получим аддитивную ПФ

.

Выполняя обратный переход, из аддитивной ПФ получим мультипликативную ПФ.

Если сумма показателей степени в ПФ Кобба - Дугласа y, , то её можно записать в другой форме:

, то есть

Пусть производительность труда,

- капиталовооружённость труда,

Тогда , то есть из двухфакторной ПФКД получим формально однофакторную ПФКД.

Так как , из последней формулы следует, что производительность труда z растёт медленнее капиталовооруженности труда.

Этот случай справедлив для случая статической ПФКД в рамках существующих технологий и ресурсов.

- производительность капитала, или капиталоотдача

- капиталоёмкость выпуска

- трудоёмкость выпуска.

ПФ называется динамической, если:

1 Время t фигурирует в качестве самостоятельной переменной величины или фактора производства, влияющего на объём выпускаемой продукции;

2 Параметры ПФ и её характеристика f зависят от времени t.

При построении ПФ научно-технический прогресс (НТП) может быть учтён с помощью введения множителя НТП е^pt, где t = 0,1,…, T

Эта ПФ – простейший пример динамической ПФ, она включает нейтральный, то есть не материализованный в одном из факторов, технический прогресс.

В более сложных случаях технический прогресс может воздействовать непосредственно на производительность труда или капиталоотдачу:

или

НТП называется в этом случае трудосберегающим или капиталосберегающим.