Квадратичная форма отрицательно определена тогда и только тогда, когда все собственные значения матрицы отрицательны

Квадратичная форма положительно определена тогда и только тогда, когда все собственные значения матрицы положительны.

Доказательство

Докажем первое утверждение. Рассмотрим ортонормированный базис пространства , состоящий из собственных векторов симметрической матрицы , и пусть , . Тогда – канонический базис квадратичной формы , а выражение – ее канонический вид в базисе . Теперь первое утверждение этой теоремы вытекает из первого предложения предыдущей теоремы.

Второе предложение доказывается аналогично.

Лемма. Если какой-нибудь угловой минор матрицы равен нулю, то найдется такой ненулевой вектор , что