2014-02-09
417
Квадратичная форма положительно определена тогда и только тогда, когда,,…,.
Доказательство.
1. Необходимость. Дано, что 
– положительно определенная форма. Так как 
, то 
и поэтому 
.
Достаточность. Дано, что в каноническом виде все коэффициенты 
, 
,…,
Нужно доказать, что положительно определена. Рассмотрим произвольный ненулевой вектор 
и разложим его по базису 
:
Так как 
, то в разложении не все коэффициенты равны нулю. Следовательно 
, так как , ,…, и среди чисел 
хотя бы одно отлично от нуля.
Аналогично доказывается и второе утверждение.
Эта теорема дает два наиболее употребляемых критерия положительной и отрицательной определенности квадратичной формы.
Теорема. Дана квадратичная форма 
. Тогда справедливы следующие утверждения:
