Квадратичная форма положительно определена тогда и только тогда, когда,,…,.
Доказательство.
1. Необходимость. Дано, что – положительно определенная форма. Так как , то и поэтому .
Достаточность. Дано, что в каноническом виде все коэффициенты , ,…, Нужно доказать, что положительно определена. Рассмотрим произвольный ненулевой вектор и разложим его по базису :
Так как , то в разложении не все коэффициенты равны нулю. Следовательно , так как , ,…, и среди чисел хотя бы одно отлично от нуля.
Аналогично доказывается и второе утверждение.
Эта теорема дает два наиболее употребляемых критерия положительной и отрицательной определенности квадратичной формы.
Теорема. Дана квадратичная форма . Тогда справедливы следующие утверждения: