Главные радиусы кривизны поверхности эллипсоида

Из теории поверхностей известно, что в каждой точке поверхность имеет различную кривизну, зависящую как от координат данной точки, так и направления. Другими словами, если в данной точке поверхности провести нормальные сечения, то радиус их кривизны будет зависеть от направления (азимута). При этом на любой поверхности всегда можно выбрать такие два направления, вдоль которых будет иметь место наибольший и наименьший радиусы ее кривизны. Такие направления на поверхности называют главными, а радиусы кривизны нормальных сечений, проходящих вдоль этих направлений называют главными радиусами кривизны поверхности.

Если взять меридиан PQ (рис. 4. 3), то он делит поверхность эллипсоида на две симметричные по геометрическим параметрам части. Направление вдоль меридиана является одним из главных направлений на поверхности эллипсоида, вдоль которого кривизна поверхности равна величине, обратной радиусу меридиана

(4. 11)

Вторым главным направлением на поверхности эллипсоида является направление вдоль первого вертикала – дуга Tk (рис. 4. 3) и кривизна поверхности эллипсоида вдоль этого направления имеет выражение

(4. 12)

На рисунке показаны главные радиусы кривизны поверхности эллипсоида в точке Т, широта которой равна В: M – отрезок нормали TmT, заключенный между точкой на поверхности эллипсоида и точкой касания с астроидой; N – отрезок нормали TnT, заключенный между точкой на поверхности эллипсоида и точкой пересечения с осью вращения эллипсоида. Заметим величину главных радиусов кривизны для полярной точки Р, в которой В = 900 :

Рис. 4. 3

Величины M и N носят название главных радиусов кривизны поверхности эллипсоида в данной точке.

(4. 13)

Эта величина носит название полярного радиуса кривизны эллипсоида и обозначается с. На рисунке 4. 3 – это отрезок РС.

Для экваториальной точки Q, где В = 0 имеем соответственно:

, (4. 14)

на рисунке - отрезок QA;

, (4. 15)

на рисунке - отрезок QО.

Вообще говоря, ось вращения эллипсоида является геометрическим местом центров кривизны первых вертикалов, а астроида – геометрическим местом центров кривизны меридианов. Сравнивая численные значения главных радиусов кривизны, замечаем, что радиус меридиана меньше радиуса первого вертикала, следовательно, всегда кривизна поверхности эллипсоида минимальна вдоль первого вертикала, а максимальна – вдоль меридиана. На полюсе меридиан и первый вертикал совпадают.