Трапеций топографических карт

Трапеция топографической карты любого масштаба является отображением на плоскости в соответствующей проекции (цилиндрической Гаусса – Крюгера, конической Ламберта и др) сфероидической трапеции, ограниченной меридианами и параллелями с соответствующей разграфке масштабных рядов разностью долгот и широт. Например, для масштаба 1: 1 000 000 у нас в стране эти разности приняты соответственно в 6⁰ и 4⁰. В других странах принята иная разграфка, например, для близ экваториальных стран приняты обе разности в 4⁰. В любом случае стремятся к тому, чтобы линейные размеры трапеций карт любого масштаба были бы примерно одинаковыми.

Пусть мы имеем такую сфероидическую трапецию. Тогда площадь поверхности эллипсоида, ограниченная парами меридианов и параллелей определяется двойным интегралом

Подынтегральное выражение преобразуем. Для этого перейдем к первому эксцентриситету по известной формуле e^/2 = e² / (1 – e²), в результате получим

(4. 33)

Используя новую переменную по формуле esinB = sinQ, будем иметь

cosB dB = ( cosQ dQ) / e.

В результате имеем после очевидных преобразований и интегрирования

(4. 34)

Возвращаясь от переменной Q к широте В, получим

(4. 35)

Вычисление площади по полученной формуле производится при условии, что разность долгот берется в радианной мере. При этом точность вычислений зависит только от их разрядности, так как формула (4. 35) строгая. В учебниках старых изданий приведена другая формула для вычислений площади трапеции, полученная путем разложения биномиального выражения под знаком интеграла (4. 33) в ряд, что в настоящее время с наличием современной вычислительной техники неактуально.

Прежде чем приступить к формулам для вычислений размеров рамок топографических карт, полезно заметить следующее. Во – первых, эти размеры нужны для вычерчивания рамок соответствующего масштаба карт, когда предельная графическая точность равна 0. 1 мм в масштабе карты. Например, для масштаба карты 1: 1 000 000 это будет соответствовать на местности величине в 100 м, а для самого крупного масштаба карты 1: 10 000, соответственно 1 м. Во – вторых, несложно убедиться, что линейные размеры трапеций карты любого масштаба примерно одинаковы и не превосходят величины 50 х 50 см. В – третьих, численные значения размеров рамок нужны для их нанесения на планшет и вычерчивания с графической точностью (до 0. 1 мм). Таким образом мы видим, что в любом случае при вычислениях необходимо учитывать не более четырех значащих цифр.

На рисунке 4. 4 показана трапеция топографической карты, у которой основаниями являются изображения на плоскости параллелей, а боко-

Рис. 4. 4

выми сторонами – изображения меридианов эллипсоида. Для вычисления их длин воспользуемся ранее полученными формулами для малой дуги меридиана и параллели (4. 31, 4. 32), при этом будем иметь в виду, что карта масштаба 1: m, линейные параметры эллипсоида даны в метрах. С учетом этого имеем

(4. 36)