Координатные линии на поверхности эллипсоида

Классификация кривых на поверхности

ГЕОМЕТРИЯ ЗЕМНОГО ЭЛЛИПСОИДА

На любой поверхности между двумя точками можно провести бесконечное множество самых различных линий, обладающих теми или иными свойствами. Для решения геодезических задач на поверхности эллипсоида нас будут интересовать из этого множества только те линии, которые связаны с измерениями, редуцированными на поверхность эллипсоида с физической поверхности Земли, а также координатные линии.

С учетом этого рассмотрим следующие линии на поверхности земного эллипсоида.

Плоские сечения – линии, образованные как след пересечения поверхности некоторой плоскостью. В зависимости от того, как ориентирована плоскость сечения относительно поверхности, различают: нормальные сечения в данной точке, если плоскость сечения содержит в себе нормаль к поверхности в данной точке, центральные сечения, когда плоскость содержит в себе центр эллипсоида, в этом случае всегда сечение будет нормальным в экваториальных точках. Если нормальное сечение проходит в азимуте, равном 90⁰, его называют первым вертикалом эллипсоида в данной точке, радиус которого равен N, выражение которого приведено в формуле (3. 16).

Геодезическая линия – кратчайшая кривая между двумя точками на поверхности. Следует заметить, что геодезические линии на любой поверхности играют особую роль (прямые на плоскости, дуги больших кругов на сфере и др.). Геометрия геодезических линий характеризует геометрию поверхности и все метрические задачи на поверхностях решают с помощью уравнений, связывающих элементы геодезических линий. Примером этому являются формулы плоской и сферической тригонометрии, связывающие линейные и угловые элементы геометрических фигур, образованных прямыми линиями на плоскости и дугами большого круга на сфере. Следует отметить, что на произвольных поверхностях, вообще говоря, не существует подобных формул в замкнутом виде в элементарных функциях, здесь используют дифференциальные формулы геодезических линий, интегрирование которых позволяет решать различные задачи. В этих случаях используют методы дифференциальной геометрии поверхностей.

При решении геодезических задач на поверхности земного эллипсоида мы будем использовать методы дифференциальной геометрии.

Для того, чтобы лучше понять данные методы, применяемые в сфероидической геодезии, вспомним основные элементы кривых на поверхностях. Прежде всего вспомним, что в дифференциальной геометрии выделяют регулярные или гладкие кривые и поверхности, не имеющие особых (разрывных) точек и линий. На таких линиях и поверхностях для текущей точки производная непрерывна и плавно меняет свое значение с изменением координат. Такие кривые и поверхности называют также дифференцируемыми. Поверхность эллипсоида регулярная и мы будем рассматривать геометрию регулярных кривых на этой поверхности.

Вспомним основные определения, относящиеся к кривым на поверхностях. В каждой точке кривой можно провести три взаимно перпендикулярные плоскости и прямые (рис. 4. 1), образующие сопровождающий трехгранник кривой:

- касательную плоскость К к поверхности и вектор касательной к кривой L в точке М, имеющие одну общую точку с поверхностью и кривой;

- нормальную плоскость N, которая перпендикулярна касательной плоскости – все прямые, лежащие в нормальной плоскости и проходящие через точку М, называются векторами нормалей к кривой в данной точке, один из которых перпендикулярен касательной плоскости и называется нормалью к поверхности в данной точке;

- соприкасающуюся плоскость кривой S, проходящую через три бесконечно близкие точки кривой, вектор нормали, лежащий на пересечении нормальной и соприкасающейся плоскостей называется главной нормалью кривой ;

- бинормаль - нормаль, перпендикулярную к соприкасающейся плоскости;

Таким образом можно отметить, что любая плоская кривая (следовательно, и плоское сечение на поверхности) имеет одну соприкасающуюся плоскость. У геодезической линии в каждой ее точке главная нормаль кривой совпадает с нормалью к поверхности в данной точке. Для произвольных кривых на поверхностях точки, в которых эти два вектора совпадают, называются геодезическими точками. Если на поверхности эллипсоида вращения проведено нормальное в данной точке сечение, то она также геодезическая, как геодезической будет точка, находящаяся на продолжении нормального сечения до точки, лежащей на одной параллели с данной. У центральных сечений эллипсоида экваториальные точки – геодезические. Таким образом можно отметить, что любое нормальное сечение земного эллипсоида имеет, по крайней мере, две геодезические точки, удаление которых будет тем больше, чем ближе плоскость сечения проходит от его центра.

Рис. 4. 1

Если на поверхности эллипсоида (рис. 4. 2) имеем две точки А и В, то между ними можно провести как геодезическую линию (одну единственную), так и нормальное как в одной, так и другой точках сечения. Если эти точки не лежат на одной параллели (В_А ≠ В_В ), что чаще всего может иметь место на практике, то получаем два взаимно нормальных сечения A a B и B b A, плоскости которых пройдут: для прямого нормального сечения в точке А - через точку В и нормаль Аn_A, для прямого нормального сечения в точке В – через точку А и нормаль Bn_B. Эти сечения не совпадут друг с другом потому, что нормали к поверхности эллипсоида Аn_A и Bn_B в данных точках не лежат в одной плоскости, а образуют скрещивающиеся прямые. Это хорошо видно из рисунка 4. 2.

Уравнение любой поверхности можно записать в векторной форме

, (4. 1)

Рис. 4. 2

Рис. 4. 2

подставляя сюда выражения для координат (3. 14) или (3. 15) для эллипсоида получим уравнения его поверхности в функции параметрических координат:

(4. 2)

Для любой кривой на поверхности можем записать уравнение в дифференциальной форме, которое выражает линейный элемент поверхности.

,

или в параметрических координатах

. (4. 3)

Уравнение (4. 3) носит название первой основной квадратичной формы Гаусса для любой поверхности, коэффициенты которой E, F, G имеют выражения в частных производных:

(4. 4)

Для ортогональной координатной сетки на поверхности эллипсоида (меридианов и параллелей) всегда имеет место F = 0, в чем несложно убедиться, если иметь в виду уравнения (3. 14) или (3. 15), из которых, кроме того, получаем выражения

. (4. 5)

С учетом этого линейный элемент поверхности эллипсоида имеет выражение.

, (4. 6)

здесь приняты обозначения коэффициентов первой квадратичной формы для эллипсоида E = M², G = r ² и их выражения следуют из уравнений (4. 5). Геометрический смысл этих коэффициентов поясним несколько дальше.

Как уже отмечалось ранее, координатными линиями на поверхности земного эллипсоида являются меридианы и параллели, уравнения которых могут быть получены из уравнения (4. 6), учитывая (4. 5). Полагая L = const, dL = 0, получим уравнение меридиана в функции геодезической и приведенной широты

(4. 7)

И для параллели получим аналогично при условии B = const, dB = 0

(4. 8)

В выражении (4. 7) и в последующем мы используем принятое в геодезии обозначение функции V. Эта величина носит название второй основной функции широты и имеет следующие выражения.

(4. 9)

Сравнивая выражения (4. 6), (4. 7) и (4. 8), замечаем, что величина M выражает радиус кривизны меридиана, а r – параллели.

Учитывая изложенное, заметим, что меридианы и параллели земного эллипсоида представляют собой плоские сечения. При этом меридианы – нормальные сечения, состоящие сплошь из геодезических точек, следовательно, они являются также геодезическими линиями. Заметим, что геодезические линии эллипсоида, проходящие в произвольном азимуте, не являются плоскими кривыми. Меридиан является исключением. Параллели земного эллипсоида являются наклонными по отношению к нормали плоскими сечениями. Более того, выражая радиус параллели r через радиус первого вертикала N (3. 16), замечаем угол наклона плоскости параллели к нормали, которая лежит в плоскости первого вертикала, равный геодезической широте В.

(4. 10)

При этом уравнение вида (4. 10) устанавливает связь между радиусами кривизны наклонных и нормальных плоских сечений и выражает теорему Менье.

Можно отметить, что параллель наибольшего радиуса (экватор) является нормальным сечением и геодезической линией.

В теории поверхностей координатные сетки в виде меридианов и параллелей, когда одна координатная линия является геодезической, а другая негеодезическая, называют полугеодезическими.