Теорема о разложении в ряд Фурье

Сопоставим каждому двоичному вектору линейную двоичную функцию (сокращенно ()), и определим функции:

Например, векторам и соответствуют из функции

соответственно. Всего имеется функций вида . Как показывает следующая лемма, они образуют ортогональную систему функций.

Лемма 2.3.1. Для любых векторов справедливы равенства

Доказательство. Сначала заметим, что

Поскольку линейная функция при принимает значение 0 ровно . Теперь

. Отсюда и следует утверждение леммы.

Теорема 2.3.2. (о разложении в ряд Фурье). Для всякой двоичной функции имеется единственное разложение вида: , где коэффициенты являются рациональными числами. При этом значения коэффициентов определяются равенствами

.

Доказательство. Докажем сначала, что указанный ряд представляет функцию . Имеем

Поскольку в последней сумме будет только одно нулевое слагаемое при y=x.

Покажем теперь, что коэффициенты однозначно определяются по функции . Предположим, существует другое разложение . Тогда . Домножив обе части этого равенства на для и просуммировав по полученные равенства, получаем:

Отсюда . Так как b-произвольный вектор из получаем требуемое утверждение.

Определение 2.3.2. Коэффициенты , , называется коэффициентами Фурье функции .