Основные определения. Отношения являются сущностью и основным объектом исследования математики

Отношения

Отношения являются сущностью и основным объектом исследования математики.

Пусть задано множество А (конечное или бесконечное), введем понятие декартова произведения – А ´ А, которое представляет собой множество всех пар D ²={< а_i, a_j >}, где (i, j) = 1, 2, 3, …, (a_i, a_j) Î A, и допускается i = j. Говорят, что Д² задает декартово пространство, элементами которого являются все возможные пары. Любое подмножество a Í А ´ А = Д² называется бинарным отношением. Заметим (и это важно), «a» также является множеством.

Пример 1.3. Авиационные трассы. Пусть A = { a, b, c, d, e }– множество кодов городов, для определенности a – Астрахань, b – Волгоград, c – Самара, d – Дудинка, е – Екатеринбург. На рис. 1.1 показано декартово пространство в виде двумерной решетки, узлы которой суть все возможные пары городов

Множество пар a = { ас, са, ав, ва, се, ес, ве, cd, de }, a Ì A ´ A можно назвать отношением с интерпретацией «город i непосредственно связан с городом j авиатрассой». На риc. 1.1 а) пары выделены «*». Бинарное отношение может быть изображено графом, в котором вершины суть элементы алфавита «А», а дуги соответствуют выделенным парам < i, j > отношения a,направление дуги указывается стрелкой от «i»к «j». Для примера 1.3 на рис. 1.1 б) построен соответствующий граф, задающий отношение a.

Математика имеет дело только с отношениями, например, уравнения и неравенства являются отношениями.

Пример 1.4. Линейное уравнение y = 0.5 x + 1 есть бинарное отношение , где D – множество действительных чисел. Пары лежат на прямой y = 0.5 x и только на ней. На рис. 1.2 а) показан график этого отношения. На рис. 1.2 б) в пространстве Д ´ Д выделено отношение, заданное системой неравенств ; оно состоит из всех точек (пар, , попавших в заштрихованный квадрат.

Отношения любой «арности» (п –арные отношения) определяются на соответствующих декартовых произведениях – А ´ А = = А ², А ´ А ´ А = А ³, … А ´ А ´ … ´ А = Аⁿ. По определению А ¹ = А (само множество), А ⁰ = Æ (пустое множество).

Пример 1.5. Пусть задано уравнение xⁿ+ yⁿ= zⁿ, где x, y, z, n Î N. На N ⁴ = N ´ N ´ N ´ N выделяются четверки <x, y, z, n> Î N ⁴, которые задают отношение «быть решением уравнения . Проблема нахождения таких четверок сформулирована в теореме Ферма.