2014-02-09
1387
Пусть 
равномощно подмножеству 
множества 
, а равномощно подмножеству 
множества .
Рис.
При взаимно однозначном соответствии между и подмножество 
переходит в некоторое подмножество 
. При этом все три множества , и 
равномощны, - и нужно доказать, что они равномощны множеству , или, что то же самое, .
Теперь можно забыть про множество и его подмножества и доказывать такой факт:
если 
и равномощно 
, то все три множества равномощны.
(Для единообразия будем говорить вместо .)
Пусть 
- функция, осуществляющая взаимно однозначное соответствие 
(элемент 
соответствует элементу 
). Когда переходит в , меньшее множество переходит в некоторое множество 
(см. рис. ниже)). Аналогичным образом само переходит в некоторое множество 
. При этом 
, так как 
.
Рис.
Продолжая эту конструкцию, получаем убывающую последовательность множеств
и взаимно однозначное соответствие 
, при котором 
соответствует 
(иногда это записывают так: 
). Формально можно описать 
как множество тех элементов, которые получаются из какого-то элемента множества после 
-кратного применения функции . Аналогичным образом 
состоит из тех и только тех элементов, которые получаются из какого-либо элемента множества после -кратного применения функции .
Заметим, что пересечение всех множеств вполне может быть непусто: оно состоит из тех элементов, у которых можно сколько угодно раз брать - прообраз. Теперь можно сказать так: множество разбито на непересекающиеся слои 
и на сердцевину 
.
Слои 
, 
, 
, 
равномощны (функция осуществляет взаимно однозначное соответствие между и , между и и т.д.):
То же самое можно сказать про слои с нечетными номерами:
Можно отметить, что функция на множестве 
осуществляет его перестановку (взаимно однозначное соответствие с самим собой).
Построим взаимно однозначное соответствие 
между и . Пусть . Тогда соответствующий ему элемент 
строится так: 
при 
и 
при 
или 
(см. рис.)
Рис.
Теорема Кантора-Бернштейна значительно упрощает доказательства равномощности: например, если нужно доказать, что бублик и шар в пространстве равномощны, то достаточно заметить, что из бублика можно вырезать маленький шар (гомотетичный большому), а из шара - маленький бублик.
При сравнении мощностей для заданных множеств и теоретически имеются четыре возможности:
- равномощно некоторой части , а равномощно некоторой части . (В этом случае множества равномощны.)
- равномощно некоторой части , но не равномощно никакой части . В этом случае говорят, что имеет меньшую мощность, чем .
- равномощно некоторой части , но не равномощно никакой части . В этом случае говорят, что имеет большую мощность, чем .
- Ни не равномощно никакой части , ни не равномощно никакой части . Этот случай невозможен.
