Связь потенциала с напряженностью электростатического поля

Пусть - вектор бесконечно малого смещения пробного заряда из точки с потенциалом в точку с потенциалом . Величина работы по перемещению заряда равна

,

откуда

(1.27)

Формула (1.27) показывает, что вектор напряженности электрического поля в каждой точке указывает направление, при смещении в котором потенциал поля падает наиболее быстро (так как и ). Величина напряженности поля характеризует скорость изменения потенциала в том же направлении в точке . Перепишем (1.27):

. (1.28)

В декартовой системе координат с ортами :

(1.29)

Введем дифференциальный оператор - «набла», который обладает всеми свойствами вектора и в декартовой системе координат с ортами имеет вид:

(1.30)

Умножение вектора на скаляр - дифференциальная операция первого порядка, называемая взятием градиента скалярной функции . Из исходного поля скалярной функции получается производное векторное поле:

(1.31)

С учетом (1.31) перепишем (1.29):

. (1.32)

Сравнивая (1.28) с (1.32), получаем формулу связи потенциала с напряженностью электрического поля:

(1.33)

Из (1.31) и (1.33) находим декартовы компоненты вектора : и модуль этого вектора:

(1.34)

Формула (1.27) показывает, что при смещении из точки поперек направления потенциал сохраняет постоянное значение.

Определение. Каждая поверхность, на которой потенциал сохраняет заданное постоянное значение, называется эквипотенциальной.

В каждой своей точке эквипотенциальная поверхность перпендикулярна вектору напряженности поля в той же точке. Так, эквипотенциали поля точечного заряда в соответствии с (1.23) представляют собой концентрические сферы с центром в точке расположения заряда .

Рис. 1.12. Эквипотенциали электрического поля точечного заряда