Решение обыкновенных дифференциальных уравнений с начальными условиями

Приближенное вычисление интегралов.

Численные методы решения нелинейных и трансцедентных уравнений.

Роль численных методов.

Численные методы.

Лекция № 6.

Проблема социального статуса многодетной семьи.

В нашем обществе многие женщины боятся стать многодетными. С этим связано то, что отношение к многодетной семье не простое. Женщина может признаться, что хотела бы иметь большую семью, хотела бы быть матерью нескольких детей, но в этом случае "на нас весь двор будет показывать пальцем" - говорит она. Женщины боятся быть непонятыми, стать объектом насмешек, удивления. А ведь многодетность - это суверенное решение семьи, вторгаться в него не имеет права никто.

В общественном мнении существует стереотип о многодетной семье как о некультурной, асоциальной. Якобы, дети в такой семье не ухожены, не учатся и прочее. Исследования доктора медицинских наук профессора института социологии РАН Владимира Лупандина говорят об обратном. Именно четвертый ребенок в семье вносит гармонию в семейные отношения. Т.е. первого ребенка трудно воспитать не эгоистом, двое детей - это, как правило, соперничество, при трех детях бывает противостояние - двое против третьего. Начиная с четвертого ребенка, психологическое равновесие достигается. Четыре ребенка в семье - это необходимый минимум для лучшей социализации детей. Дети из среднедетных и многодетных семей легче находят свое место в коллективе, более успешны в выборе профессии, когда вырастают, т.к. с детства учатся лучше понимать себя и других, учатся, когда надо подчиниться, когда надо настоять, взять на себя руководство, ответственность. И, как не странно, по исследованиям доктора Лупандина, болеют эти дети реже.

По данным "Статистического бюллетеня Государственного Комитета Российской Федерации по статистике" (№1 (51), М. Март 1999г. С. 73.) среди семей с уровнем жизни выше прожиточного минимума разница в душевых доходах семей с 1-2 детьми и с 3 и более детьми невелика. Конечно, установки на крепкую семью с детьми могут активизировать усилия по улучшению материального положения семьи и поэтому неверно думать, что многодетные семьи (которых в России всего 12%) в основном не благополучны - почти в половине их наблюдается социальная и экономическая устойчивость.

Повышение престижа многодетной семьи - это основа политики многих государств, столкнувшихся с угрозой депопуляции государствообразующих народов.

1. Любое явление с определенной точностью можно представить в виде набора известных нам понятий, т.е. создать модель этого явления в знакомых нам терминах. Математика, как наиболее универсальный язык описания окружающей нас природы, позволяет перевести эти представления с качественной на количественную основу, создать формализованную теорию работы системы. Все формулы, используемые для расчета физиологических показателей организма, являются ничем иным, как адаптированными математическими моделями физиологических процессов. При этом для многих задач известно только о существовании решения, но не существует конечной формулы, представляющей ее решение. Даже при наличии такой формулы ее использование для получения отдельных значений решения может оказаться неэффективным. Наконец, всегда существует необходимость решать и такие математические задачи, для которых строгие доказательства существования решения на данный момент отсутствуют.

Во всех этих случаях используются методы приближенного, в первую очередь численного решения. Методы численного решения математических задач всегда составляли неотъемлемую часть математики и неизменно входили в содержание естественно-математического и инженерного образования. Как самостоятельная математическая дисциплина вычислительная математика оформилась в начала 20-го века. К этому времени в основном были разработаны разнообразные, достаточно эффективные и надежные алгоритмы приближенного решения широкого круга математических задач, включающего стандартный набор задач из алгебры, математического анализа и дифференциальных уравнений.

Прогресс в развитии численных методов способствовал постоянному расширению сферы применения математики в других научных дисциплинах и прикладных разработках, откуда в свою очередь поступали запросы на решение новых проблем, стимулируя дальнейшее развитие вычислительной математики. Метод математического моделирования, основанный на построении и исследовании математических моделей различных объектов, процессов и явлений и получении информации о них из решения связанных с этими моделями математических задач, стал одним из основных способов исследования в так называемых точных науках.

Параллельно с развитием численных методов шла разработка инструментальных средств вычислений, представлявших собой различные механические, а затем электромеханические устройства для выполнения арифметических операций. Причем прогресс в области инструментальных средств не оказывал заметного влияния на ход развития методов вычислений. Принципиальным образом ситуация изменилась со середины нашего столетия, когда было осуществлено изобретение электронных вычислительных машин. В результате появления ЭВМ скорость выполнения вычислительных операций выросла в миллионы раз, что позволило решить широкий круг бывших до этого практически не решаемыми математических задач. Широкое внедрение ЭВМ в практику научных и технических расчетов потребовало интенсивного развития методов численного решения самых разных математических задач, причем методов, рассчитанных на реализацию их именно на ЭВМ. Это связано с тем, что часть из ранее использовавшихся алгоритмов численного решения неэффективна при реализации на ЭВМ, а некоторые просто непригодны для такого использования.

Современной формой метода математического моделирования, базирующейся на мощной вычислительной базе в виде ЭВМ и программного обеспечения, реализующего алгоритмы численного решения, является вычислительный эксперимент, рассматриваемый как новый теоретический метод исследования различных явлений и процессов. Этот теоретический метод включает существенные черты методологии экспериментального исследования, но эксперименты выполняются не над реальным объектом, а над его математической моделью, и экспериментальной установкой является ЭВМ.

Технологическая цепочка вычислительного эксперимента включает в себя следующие этапы:

· построение математической модели исследуемого объекта (сюда же относится и анализ модели, выяснение корректности поставленной математической задачи;

· построение вычислительного алгоритма - метода приближенного решения поставленной задачи и его обоснование;

· программирование алгоритма на ЭВМ и его тестирование;

· проведение серии расчетов с варьированием определяющих параметров исходной задачи и алгоритма;

· анализ полученных результатов.

Каждый из этих этапов допускает возврат к любому из предыдущих с целью его уточнения и корректировки.

В данном курсе рассматриваются вопросы, связанные со вторым этапом вычислительного эксперимента. Во многих случаях вычислительный алгоритм решения сложной задачи строится из набора базовых компонент, представляющих собой алгоритмы решения некоторых стандартных математических задач. Изучение численных методов решения этих задач - необходимый элемент овладения современной технологией математического моделирования.

При этом идея модели лежит в основе того, что можно назвать методом вычислительной математики. Как правило, алгоритмы приближенного решения базируются на том, что исходная математическая задача заменяется (аппроксимируется) некоторой более простой или чаще последовательностью более простых задач. Решение этих более простых задач трактуется как приближенное решение задачи исходной. Т.е. фактически используется некоторая модель исходной задачи.

2. Пусть дана непрерывная на некотором отрезке [a,b] функция . Необходимо найти принадлежащие этому отрезку корни уравнения

(1)

Как правило, алгоритм приближенного метода состоит из двух этапов:

- поиск приближенного значения корня или содержащего его отрезка;

- уточнение приближенного значения до некоторой заданной степени точности.

Иногда ограничиваются только первым этапом. При этом могут использоваться решения близких задач, графические методы, физические соображения и т.д. На втором этапе для уточнения приближенного значения обычно строится последовательность, элементы которой в пределе сходятся к точному значению корня. Сам метод решения при этом называется итерационным или методом последовательных приближений.

Рассмотрим некоторые численные методы решения такого уравнения.