Краткая характеристика методов анализа нелинейных автоколебательных систем

Процессы, происходящие в автоколебательных системах, описываются нелинейными дифференциальными уравнениями. В большинстве случаев для анализа их решений применяются приближенные методы.

Наиболее распространенными методами являются:

1) метод линеаризации;

2) квазилинейный метод (метод гармонической линеаризации);

3) метод медленно меняющихся амплитуд;

4) метод фазовой плоскости;

5) метод малого параметра;

6) метод математического моделирования.

Каждый из этих методов обладает рядом разновидностей.

Метод линеаризации состоит в приближенной замене нелинейных зависимостей линейными. Практически это возможно лишь в режиме малых амплитуд колебаний. Метод применяется в основном для исследования условий устойчивости и условий самовозбуждения, как это было продемонстрировано выше. Для изучения поведения систем при большой амплитуде колебаний этот метод непригоден ни в режиме переходных процессов, ни в режиме установившихся колебаний.

Квазилинейный метод получил наибольшее распространение для расчета стационарных режимов автогенераторов. В принципе он пригоден и для анализа переходных процессов. Метод основан на изучении соотношений между первыми гармониками токов и напряжений и замене нелинейного элемента эквивалентным линейным. Последний характеризуется средним параметром – параметром первой гармоники. После такой замены нелинейная цепь описывается линейными уравнениями. Их можно решать методами линейной теории, например, - методом комплексных амплитуд. Нелинейность схемы проявляется в зависимости среднего параметра от амплитуды. Данный метод применим для систем, колебания в которых близки к гармоническим. В большинстве случаев квазигармоничность колебаний обусловлена применением высокодобротных колебательных контуров. Для них характерно сравнительно медленное, по сравнению с периодом колебаний, изменение амплитуды и начальной фазы колебаний.

Метод медленно изменяющихся амплитуд (метод укороченных уравнений), как и квазилинейный метод, применим для систем, колебания в которых близки к гармоническим. Отмеченное условие медленности позволяет упростить и понизить порядок нелинейного дифференциального уравнения системы. Этот метод является основным при анализе переходных процессов в автогенераторах.

Метод фазовой плоскости – графический метод, применяемый для анализа стационарных и переходных процессов. Он основан на изучении интегральных кривых дифференциальных уравнений второго порядка. Метод пригоден для исследования не только квазигармонических, но и негармонических (релаксационных) колебаний, то есть - более общий, чем квазилинейный метод или метод укороченных уравнений. Недостатки метода фазовой плоскости связаны со сложными графическими построениями и отсутствием аналитических решений.

Метод малого параметра предполагает представление решения нелинейного дифференциального уравнения в виде разложения в ряд по степеням малого параметра. Метод пригоден для теоретического исследования стационарных автоколебаний.

Математическое моделирование основано на приведении нелинейных дифференциальных уравнений к виду, удобному для решения на цифровых или аналоговых ЭВМ. Широко применяются, например, методы конечных разностей, конечных элементов, вариационные методы и т.д. По мере повышения порядка уравнений и усиления их сложности эти методы часто становятся единственно возможными при практической реализации.