Разветвленные цепи. Правила Кирхгофа

Применение двух правил Кирхгофа позволяет упростить расчет разветвленных цепей. Для цепи вводятся три основных понятия – ветвь, узел и контур.

Определение. Ветвь цепи – участок цепи с двумя внешними зажимами (двухполюсник), составленный только из последовательно соединенных элементов.

Определение. Узлом называется точка, в которой сходится более двух ветвей цепи.

Определение. Контуром называется любой замкнутый путь для тока на схеме, составленный из ветвей.

Первое правило применяется к каждому выделенному узлу цепи (см. рис. 5.5).

Рис. 5.5. К формулировке первого правила Кирхгофа

Окружим узел замкнутой поверхностью с внешней единичной нормалью . Применим к поверхности закон сохранения заряда, который для постоянного тока выражает равенство нулю силы тока через эту поверхность: , откуда следует формулировка первого правила Кирхгофа:

(7.11)

то есть, алгебраическая сумма сил токов, сходящихся в узле, равна нулю.

В соответствии с выбором внешней нормали к поверхности токам, вытекающим из узла, приписывается знак плюс, а втекающим в узел – знак минус.

Второе правило применяется к каждому выделенному контуру цепи, например 1 – 2 – 3 - 1 на рис. 5.6.

Рис. 5.6. К формулировке второго правила Кирхгофа

Направление обхода контура выбирается произвольно. Направление тока в каждой ветви контура задается произвольно. При обходе каждой ветви контура применяется правило знаков: току приписывается знак плюс, если направление тока совпадает с направлением обхода контура, иначе – минус; если источник тока проходится от отрицательной к положительной обкладке, то его э.д.с. приписывается знак плюс, иначе – знак минус. В соответствии с законом Ома (7.9) для неоднородного участка цепи и правилом знаков для трех ветвей контура рис. 5.6 получим систему

Складывая эти уравнения, получим

или

(7.12)

Уравнение (7.12) выражает второе правило Кирхгофа для замкнутого контура цепи:

Алгебраическая сумма падений напряжения на сопротивлениях ветвей контура равна алгебраической сумме э.д.с., действующих в ветвях контура.

При составлении системы расчетных уравнений первое правило Кирхгофа применяется для каждого независимого узла цепи. Каждый последующий, при перечислении, независимый узел должен включать хотя бы одну новую ветвь цепи, которая не учитывалась для предыдущих узлов. Если - полное число узлов цепи, то число независимых узлов равно .

При составлении системы расчетных уравнений второе правило Кирхгофа применяется для каждого независимого контура цепи. Каждый последующий, при перечислении, независимый контур должен включать хотя бы одну новую ветвь цепи, которая не входила в состав предыдущих контуров. Значит, ни один независимый контур нельзя получить наложением других независимых контуров.

Число независимых уравнений, составленных по первому и второму правилам Кирхгофа, оказывается равно числу токов в ветвях разветвленной цепи. По заданным сопротивлениям и э.д.с. элементов цепи из этой системы находятся токи всех ветвей цепи.

Правила Кирхгофа можно применить для обоснования выражений сопротивлений двухполюсников, составленных последовательным, параллельным или даже смешанным – последовательно-параллельным соединением резисторов. Так, при последовательном соединении складываются сами величины сопротивлений резисторов, а при параллельном - проводимости резисторов.

Пример. Составим систему уравнений по правилам Кирхгофа для определения токов ветвей схемы рис. 5.7.

Рис. 5.7. Цепь содержит один независимый узел, например – А, и два независимых контура, например, - 11 и 22.

Искомая система уравнений имеет вид:

Пример. Параллельное соединение сопротивлений применяют при устройстве шунта в измерительных приборах. Пусть надо измерить силу тока в цепи при помощи амперметра с внутренним сопротивлением . Амперметр рассчитан на токи до величины (см. рис. 5.8).

Рис. 5.8.

Параллельно амперметру включают сопротивление шунта. Применяя правила Кирхгофа, можно получить

Если при помощи амперметра, рассчитанного на тока до 10 А, надо измерять токи до 100 А, то требуется , откуда находим сопротивление шунта .

Пользуясь соединением источников тока в батареи, можно изменять э.д.с. и внутреннее сопротивление в широких пределах в зависимости от требований по питанию электрической цепи. Так, например, при последовательном соединении источников их э.д.с. и внутренние сопротивления складываются, образуя э.д.с. и внутреннее сопротивление всей батареи, соответственно.