Тонкая линза

На рисунке показана двояковыпуклая линза с радиусами кривизны R₁ и R₂. Первый радиус отложен направо, поэтому он положителен, второй отложен от вершины налево – он отрицателен. Показатель преломления материала линзы n₂, а окружающая ее среда имеет показатель преломления n₁.

Падающий на линзу луч света будет преломляться на обеих поверхностях. РИСУНОК Можно воспользоваться уже полученными результатами. Пусть источник света лежит слева от передней вершины O₁ на расстоянии s. Если бы второй поверхности не было, то лучи собрались бы в точке s’ справа от O₁. Причем . Для описания преломления на второй поверхности s’ можно считать «источником», соответственно расстояние от него до вершины второй преломляющей поверхности O₂ будет равно s’-|O₁O₂|. Поскольку мы считаем положительным расстояние от источника, если он находится слева, это расстояние берем с минусом. Можно применить ту же самую формулу для второй преломляющей поверхности.

. В дальнейшем мы рассмотрим решение этого уравнения, а сейчас найдем его решение в важном частном случае. Если |O₁O₂|<< R₁,R₂ тогда толщина линзы |O₁O₂| будет во много раз меньше всех расстояний s, s’, s’’. Такую линзу назовем тонкой. Формулы для нее становятся гораздо проще.

Чтобы выразить s’’, нужно просто сложить уравнения

то есть

где фокусное расстояние линзы. Напомним, что второй радиус для данной линзы отрицателен, поэтому оба слагаемых в скобках положительны. Полученная формула называется формулой тонкой линзы. Она позволяет вычислить положение изображения s’’ светящейся точки, расположенной на расстоянии s от линзы.

Проведем подробный анализ этой формулы для двояковыпуклой собирающей линзы (R₁>0,R₂<0, n₂>n₁). В этом случае F>0.

Если s→∞ то s’’→F. То есть, если источник удалять далеко налево, то изображение будет приближаться к заднему фокусу. Параллельный пучок лучей собирается этой линзой справа в заднем фокусе.

Если s’’→∞ то s→F. По принципу обратимости хода лучей если изображение s’’ сделать источником, то лучи пойдут таким образом, что соберутся в точке s. Если изображение s’’ удалять далеко направо, то источник s должен приближаться к переднему фокусу, который находится на том же расстоянии от линзы, что и задний. Это означает, что параксиальный пучок лучей, выходящий из переднего фокуса преобразуется линзой в параллельный.

Полученную формулу можно применять для разных типов линз, если правильно выбирать знаки для радиусов кривизны поверхностей линзы.

.

На рисунке изображены четыре типа линз

1) двояковогнутая R₁<0,R₂>0

2) выпукло-вогнутая R₁>0,R₂>0 (R₁<R₂)

3) вогнуто-выпуклая R₁>0,R₂>0 (R₁>R₂)

4) двояковыпуклая R₁>0,R₂<0.

Если n₂>n₁, то у линз 2 и 4 величина F>0. Докажите это сами. Такие линзы называются собирающими. Они в середине толще, чем по краям. Линзы же 1 и 3 имеют F<0. Значит, задний фокус лежит не правее линзы, а левее. Это рассеивающие линзы. Их толщина в середине меньше, чем по краям.

Заметим, что если n₂<n₁, то линзы типов 2 и 4 станут рассеивающими, а 1 и 3 – собирающими.

Передний и задний фокусы тонкой линзы равны. Величина называется оптической силой линзы. Она может быть как положительной, так и отрицательной. Если фокусное расстояние выражено в метрах, то единица оптической силы называется диоптрия. Если фокусное расстояние линзы +1м, она обладает оптической силой +1 дптр. У собирающей линзы оптическая сила положительна, у рассеивающей линзы– отрицательна.

Собирающая линза собирает пучок, параллельный главной оптической оси в заднем фокусе. Рассеивающая линза преобразует пучок так, что задний фокус находится перед линзой. Как это понимать? Ведь лучи проходят через линзу и обратно не возвращаются. Ответ на этот вопрос виден на рисунке. В фокусе рассеивающей линзы собираются не сами лучи, а их мысленные продолжения, изображенные пунктиром. Такое изображение называется мнимым. Мы уже сталкивались с мнимым изображением предмета в плоском зеркале. Предмет как бы находится в точке своего изображения, поскольку именно из нее идет расходящийся пучок лучей.

На рисунке показано символическое изображение собирающей и рассеивающей линз на оптических схемах.

Рассмотрим формирование изображения собирающей линзой.

Выразив расстояние можно сообразить, что при s₁>F s₁’>0, поэтому изображение будет действительным (лучи, исходящие из точки s₁ соберутся в точке s₁’). Говорят, что изображение действительное, если источник расположен дальше переднего фокуса собирающей линзы.

Если же разместить источник в точке s₂ (ближе переднего фокуса), то s₂’<0, то есть, изображение будет мнимым. На чертеже показано, как графически находится изображение светящейся точки, не лежащей на главной оптической оси. Она испускает пучок лучей, собирающихся в точке s’. Ясно, что для ее нахождения достаточно взять два «удобных» нам луча и найти точку их пересечения. Один из лучей пустим параллельно главной оптической оси. Он пройдет через задний фокус. Другой же луч пустим через оптический центр тонкой линзы. Поскольку поверхности линзы в этом месте параллельны, то луч пройдет через линзу как через плоскопараллельную пластинку. Мы знаем, что на ней луч не меняет направления, а лишь немного смещается. Из-за малой толщины линзы в этом месте это смещение также мало. Поэтому луч, проходящий через оптический центр тонкой линзы, не преломляется. Пересечение этих двух лучей и даст изображение s’. Видно, что для положения источника s₂ лучи после линзы не пересекаются. Значит, пересекутся их продолжения, которые дадут мнимое изображение s₂’.

Рассмотрим формирование изображения рассеивающей линзой.

Выразив расстояние можно сообразить, что при любом s s’<0, поэтому изображение всегда будет мнимым. На рисунке показано построение этого изображения.

Луч, параллельный оптической оси, отклонится так, что его продолжение пройдет через задний фокус (который находится спереди от линзы). Видно, что для положений источника s₁ и s₂ изображения мнимые. Если луч идет в направлении переднего фокуса (который на самом деле сзади линзы), он преобразуется линзой в параллельный.

Заметим, что формулы для собирающей и рассеивающей линз можно использовать в случае s<0. Это означает, что на линзу падает сходящийся пучок лучей, поэтому «источник» находится справа от линзы. Самостоятельно докажите, что в этом случае для собирающей линзы всегда выполнено s’>0, причем s’<s, а для рассеивающей может быть s’>0, а может и s’<0.