Интервальные оценки математического ожидания и дисперсии

Точечные оценки параметров не дают информации о степени близости оценки к соответствующему теоретическому параметру . Поэтому более информативный способ оценивания неизвестных параметров состоит не в определении единичного точечного значения, а в построении интервала, в котором с заданной степенью достоверности окажется оцениваемый параметр, т. е. в построении так называемой интервальной оценки параметра .

Интервальной оценкой параметра в называется интервал, границы которого и являются функциями выборочных значений x₁,x₂,...x_N и который с заданной вероятностью p накрывает оцениваемый параметр :

. (2.4)

Интервал () называется доверительным, его границы и являющиеся случайными величинами,—соответственно нижним и верхним доверительными пределами, вероятность р— доверительной вероятностью, а величина q = 1— р — уровнем значимости, используемым при построении доверительного интервала. Любая интервальная оценка может быть охарактеризована совокупностью двух чисел: шириной доверительного интервала являющейся мерой точности оценивания параметра , и доверительной вероятностью р, характеризующей степень достоверности (надежности) результатов. Практически чаще всего используется значение р =0,95, несколько реже р=0,9 и р=0,99 и совсем редко р =0,8 и р =0,999.

Общая процедура получения интервальной оценки состоит в следующем:

1. Записывают определенное вероятностное утверждение вида

, (2.5)

где f (g) — функция плотности вероятности случайной величины g. При этом значения d₁ и d₂ определяют обычно с учетом дополнительных условий:

(2.6)

2. Аргумент выражения (2.5) преобразуют так, чтобы в окончательном виде оцениваемый параметр оказался заключенным между величинами, определяемыми по выборке. Это и будут границы доверительного интервала (). Функцию g() выбирают таким образом, чтобы она допускала подобное преобразование и имела известную (лучше табулированную) функцию плотности вероятности f{g). Последнее обстоятельство существенно упрощает определение значений d₁ и d₂.

В табл. 2.1 указаны сведения, необходимые для построения доверительных интервалов для среднего значения m_x, когда неизвестна, для дисперсии и среднего квадратического отклонения s_x. Предполагается, что Х — нормальная случайная величина, а наблюдения независимы. Соответствующие формулы имеют следующий вид:

, (2.9)

, (2.10)

. (2.11)

В этих формулах v = N—1, q=1—p, где р—доверительная вероятность.

Таблица 2.1

Параметр	Информация о параметрах распределения	Функция g()	Распределение f(g)	Формула для нахождения доверительного интервала
mx	неизвестна		t- распределение	(2.9)
	mx неизвестно		c2- распределение	(2.10)
sх	-/-	-/-	-/-	(2.11)