Рассмотрим систему (k = 1,2,...,n) (1) с начальным условием (k = 1,2,...,n), которое является результатом измерений и получено с некоторой погрешностью. Если сколь угодно малые изменения начальных данных способны сильно изменить решение, то такое решение не имеет никакого прикладного значения и даже приближенно не описывает изучаемое явление. Естественно возникает вопрос о нахождении условий, при которых достаточно малое изменение начальных данных вызывает сколь угодно малое изменение решения.
Если t меняется на конечном отрезке , то ответ уже получен теоремой о непрерывной зависимости решения от начальных значений.
Определение. Решение системы (1) называется устойчивым по Ляпунову, если для любого такое, что для любого той же системы, начальные значения которого удовлетворяют неравенствам , (k = 1,2,...,n) (2).
Для всех справедливы неравенства , (k = 1,2,...,n) (3), т.е. близкие по начальным значениям решения остаются близкими для всех (можно писать ).
Если при сколь угодно малом хотя бы для одного решения неравенство (3) не выполняется, то решение называется неустойчивым.
|
|
Если решение не только устойчиво, но, кроме этого, удовлетворяет условию (4), это решение называется асимптотически устойчивым.
Пример. Исследовать на устойчивость решение уравнения при условии ,
- асимптотически устойчиво, так как если и .
Сделаем замену в системе (1): (5), (k = 1,2,...,n).
Тогда система (1) будет иметь вид: (6), и новыми неизвестными функциями являются отклонения прежних неизвестных функций от , определяющих устойчивость решения.
Тогда исследовать на устойчивость нужно будет тривиальное решение , (k = 1,2,...,n).
Сформулируем определение устойчивости для точки покоя: , (k = 1,2,...,n). Эта точка покоя системы (6) устойчива в смысле Ляпунова, если , что из неравенства , (k = 1,2,...,n) следует , (k = 1,2,...,n) при .