Второй метод Лагранжа

Рассматривается система (1)

Теорема 1:

Если существует дифференцируемая функция , называемая функцией Ляпунова, удовлетворяющая в окрестности начала координат следующим условиям:

1) , причём лишь при , .

2) , при , то точка покоя системы (1) устойчива.

Производная в условии 2) взята вдоль интегральных кривых системы (1).

Доказательство:

Поверхности уровня в окрестности точки покоя, которая является точкой строгого минимума, являются замкнутыми и окружают точку покоя.

Рассмотрим поверхность уровня , которая целиком лежит в окрестности, т.е. , но не проходит через начало координат. Выберем окрестность так, чтобы окрестность целиком лежала внутри поверхности . Если начальная точка с координатами , находилась в окрестности, то , то при точка траектории, которая проходит через точку не выйдет за пределы окрестности начала координат в силу условия 2) теоремы.

Теорема 2: (т. Ляпунова для ассимптотичной устойчивости)

Если существует дифференцируемая функция Ляпунова , удовлетворяющая следующим условиям:

1) имеет строгий минимум в начале координат .

2) производная функция , вычисляемая вдоль интегральных кривых системы (1):

, причём вне сколь угодно малой окрестности начала координат, т.е. при , производная , где постоянная, то точка покоя , системы (1) асимптотически устойчива.

Доказательство:

Условия теоремы выполнены, то если можно выбрать , что траектория, начальная точка которой не выйдет из окрестности начала координат.

Вдоль траектории функция монотонно убывает с возрастанием . Следовательно, существует

Надо показать, что . Откуда будет следовать, что , .

Первое условие теоремы только в начале координат.

Допустим, что .

Тогда возьмём за окрестность, но здесь , проинтегрируем это неравенство от до :

или

При достаточно большом правая часть отрицательна и, следовательно, , что противоречит условию 1).

Пример 1:

1) ,

Решение , асимптотически устойчиво.

Пример 2:

1) ,

Решение , асимптотически устойчиво.

Исследование проблемы устойчивости по первому приближению.

При исследовании на устойчивость точки покоя , системы (1), где дифференцируемая окрестности начала координат функция.

Применяется следующий метод:

Систему (1) представляют в окрестности начала координат:

, (2)

Система , (3)

Называется системой первого приближения для системы (1).

Теорема 3:

Если система (2) стационарна в первом приближении, все числа , в достаточно малой окрестности начала координат при удовлетворяют неравенствам:

, где и постоянные.

и все корни характеристического уравнения:

(4)

имеют отрицательные действительные части, то тривиальное решение, системы (1) асимптотически устойчиво.

Теорема 4:

Если система (2) стационарна в первом приближении, все функции , удовлетворяют условиям предыдущей теоремы, и хотя бы один корень характеристического уравнения (4) имеет положительную действительную часть, то точка покоя , системы (2) неустойчива.

В критическом случае, когда действительная часть и хотя бы одного корня равна нулю, на устойчивость начинают влиять нелинейные члены и исследование на устойчивость по первому приближению невозможно.

Пример 1: